Математический анализ: понятия, определения, аксиомы и теоремы

ПЕРЕЧЕНЬ ПОНЯТИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, АКСИОМ И ТЕОРЕМ

(Курс математического анализа для МФТИ, МИФИ, МГУ)

Введение: Логическая символика

Для краткой и точной записи математических утверждений используются следующие логические символы (кванторы). Эти символы — универсальный язык математики, позволяющий избежать двусмысленности.

Важные логические эквивалентности: Эти правила — основа для построения доказательств «от противного» и корректного отрицания сложных утверждений. Например, чтобы опровергнуть утверждение «все лебеди белые» ($\forall x\ P(x)$), достаточно найти одного чёрного лебедя ($\exists x\ \neg P(x)$). $$ \begin{aligned} &\neg(\forall x\ P(x)) \Leftrightarrow \exists x\ \neg P(x) \\ &\neg(\exists x\ P(x)) \Leftrightarrow \forall x\ \neg P(x) \\ &\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \land \neg Q \\ &(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P) \quad \text{(закон контрапозиции)} \end{aligned} $$

1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (АКСИОМАТИКА ZFC)

Здесь излагается базис современной математики — аксиоматическая теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

1.1. Основные понятия теории множеств

Определения:

• Множество — первичное понятие, под которым понимается любая совокупность объектов произвольной природы, называемых элементами этого множества. Множества обычно обозначаются прописными латинскими буквами ($A$, $B$, $C$, …), а их элементы — строчными ($a$, $b$, $c$, …).
• Элемент множества — объект, входящий в данное множество. Запись $x \in A$ означает, что объект $x$ принадлежит множеству $A$; запись $x \notin A$ — что не принадлежит.
• Пустое множество ($\varnothing$) — множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества: $\varnothing \subset A$ для любого $A$.
• Подмножество ($A \subset B$) — множество $A$ называется подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$: $\forall x \in A \Rightarrow x \in B$. Если $A \subset B$ и $A \neq B$, то $A$ называют строгим (собственным) подмножеством $B$ и иногда обозначают $A \subsetneq B$.
• Равенство множеств ($A = B$) — два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. $A \subset B$ и $B \subset A$. Порядок элементов и их повторение не имеют значения: $\{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\} = \{1, 1, 2, 3\}$.
• Универсальное множество ($U$) — множество, содержащее все рассматриваемые в данном контексте множества. Все остальные множества в рамках задачи являются его подмножествами: $A \subset U$ для любого $A$.
• Булеан множества (или степень множества) — это множество всех возможных подмножеств данного множества, включая пустое множество и само множество. Обозначается как $\mathcal{P}(A)$ или $2^A$. Если $|A| = n$, то $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$. Пример: для $A = \{a, b\}$ булеан $\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$.
• Конечное множество — множество, содержащее конечное число элементов. Мощность (количество элементов) конечного множества — натуральное число или ноль (для пустого множества). Пример: $\{x, y, z\}$ — конечное множество с мощностью 3.
• Бесконечное множество — множество, которое не является конечным. Примеры: $\mathbb{N}$ (натуральные числа), $\mathbb{Z}$ (целые числа), $\mathbb{R}$ (вещественные числа).
• Способы задания множеств:
  • Перечислением элементов — список элементов в фигурных скобках: $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Подходит только для конечных множеств.
  • Характеристическим свойством (предикатом) — указание свойства, которым обладают все элементы множества: $A = \{x \mid P(x)\}$, где $P(x)$ — условие. Пример: $B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ чётное}\}$ — множество чётных натуральных чисел.
  • Порождающей процедурой — описание правила, по которому строятся элементы множества. Пример: множество степеней двойки можно задать как $C = \{2^k \mid k \in \mathbb{N}\}$.

Примеры булеанов:

Пояснение: Булеан всегда содержит пустое множество и само исходное множество. Если в исходном множестве $n$ элементов, то в булеане $2^n$ элементов.

1.2. Аксиомы ZFC (базис теории множеств)

Аксиома 1: Объёмности (Extensionality)

Формулировка: $\forall A \forall B \big( \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B \big)$ Пояснение: Множество полностью определяется своими элементами. Нет «скрытых свойств». Если два множества состоят из одних и тех же элементов — они равны.

Аксиома 2: Выделения (схема аксиом) (Separation)

Формулировка: Для любой формулы $P(x)$: $\forall A \exists B \forall x \big( x \in B \Leftrightarrow (x \in A \land P(x)) \big)$ Пояснение: Из любого множества можно выделить подмножество элементов, удовлетворяющих свойству $P$. Эта аксиома позволяет избежать парадокса Рассела (множество всех множеств, не содержащих себя).

Аксиома 3: Объединения (Union)

Формулировка: $\forall M \exists U \forall x \big( x \in U \Leftrightarrow \exists Y (Y \in M \land x \in Y) \big)$ Обозначение: $U = \bigcup M$. Пояснение: Для любого семейства множеств существует множество, содержащее все элементы всех множеств этого семейства.

Аксиома 4: Пары (Pairing)

Формулировка: $\forall X \forall Y \exists Z \forall t \big( t \in Z \Leftrightarrow (t = X \lor t = Y) \big)$ Обозначение: $Z = \{X, Y\}$. Пояснение: Для любых двух множеств существует множество, содержащее ровно их.

Аксиома 5: Множества подмножеств (булеана) (Power Set)

Формулировка: $\forall X \exists P(X) \forall Y \big( Y \in P(X) \Leftrightarrow Y \subset X \big)$ Пояснение: Множество всех подмножеств данного множества существует. Обозначение: $\mathcal{P}(X)$ или $2^X$.

Аксиома 6: Бесконечности (Infinity)

Формулировка: $\exists I \big( \varnothing \in I \land \forall x (x \in I \Rightarrow x \cup \{x\} \in I) \big)$ Пояснение: Существует индуктивное множество, содержащее $\varnothing$ и замкнутое относительно операции $x \mapsto x \cup \{x\}$. Позволяет построить модель натуральных чисел (по фон Нейману): $0 = \varnothing$, $1 = \{\varnothing\}$, $2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$, …

Аксиома 7: Подстановки (схема аксиом) (Replacement)

Формулировка: Если $F(x,y)$ — формула, определяющая функциональное отношение (для каждого $x$ существует единственный $y$), то для любого множества $A$ существует множество $\{ y \mid \exists x \in A: F(x,y) \}$. Пояснение: Образ множества при функциональном отношении является множеством. Более мощная версия выделения.

Аксиома 8: Выбора (Choice, AC)

Формулировка: Для любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств существует множество $C$ (множество выбора), содержащее ровно по одному элементу из каждого множества семейства. Эквивалентная форма: Декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто. Пояснение: Эта аксиома позволяет сделать «одновременный выбор» представителей из каждого множества семейства. Она независима от остальных аксиом ZF. Принимается в классической математике, но ведёт к неконструктивным следствиям (парадокс Банаха — Тарского, существование неизмеримых множеств).

1.3. Операции над множествами

Определения операций:

Дополнительные пояснения к декартовому произведению:

1. Упорядоченность. Ключевое свойство — порядок элементов в паре имеет значение. Например, $(1, x) \neq (x, 1)$, даже если $1$ и $x$ принадлежат одному и тому же множеству.

2. Визуализация. Декартово произведение $A \times B$ можно представить в виде таблицы:

   • строки соответствуют элементам множества $A$;
   • столбцы — элементам множества $B$;
   • каждая клетка таблицы — это элемент декартова произведения (упорядоченная пара).

3. Обобщение на $n$ множителей. Декартово произведение $n$ множеств $A_1, A_2, \dots, A_n$ — это множество всех упорядоченных $n$-ок (кортежей): $$ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i, i = 1, \dots, n\}. $$ Пример: если $A = \{0, 1\}$, то $A \times A \times A = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), \dots, (1,1,1)\}$ (всего 8 троек).

4. Степень множества. Декартов квадрат множества $A$ — это $A \times A$. Декартов куб — $A \times A \times A$, и т. д. Обозначается как $A^n$.

5. Комбинаторный смысл. Декартово произведение моделирует выбор пары (тройки, $n$-ки) элементов, где первый берётся из $A$, второй из $B$ и т. д. Это основа для подсчёта комбинаций: если $|A| = m$, $|B| = n$, то $|A \times B| = m \cdot n$ (правило умножения в комбинаторике).

6. Частный случай. Если одно из множеств пусто, то и произведение пусто: $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$.

Хотите, я добавлю какие‑то другие операции или раскрою какой‑либо аспект подробнее?

1.4. Законы алгебры множеств (теоремы)

Все теоремы выводятся из аксиом ZFC и определений.

Формулы для операций с множествами: $$ \begin{aligned} A \triangle B &= (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \\ A \setminus B &= A \cap B' \\ A \cap B &= (A' \cup B')' \\ A \cup B &= (A' \cap B')' \end{aligned} $$

Свойства декартова произведения: $$ \begin{aligned} (A \cup B) \times C &= (A \times C) \cup (B \times C) \\ (A \cap B) \times C &= (A \times C) \cap (B \times C) \\ (A \setminus B) \times C &= (A \times C) \setminus (B \times C) \end{aligned} $$

1.5. Отображения (функции)

Определения:

• Отображение (функция) $f: X \to Y$ — правило, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ (области определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$ (кодомена). Обозначение: $f(x) = y$.
• Область определения — $D(f) = \{x \in X \mid \exists y \in Y: f(x) = y\}$.
• Кодомен — множество $Y$, в котором лежат значения функции (может быть шире области значений).
• Область значений — $E(f) = \{y \in Y \mid \exists x \in X: f(x) = y\} \subseteq Y$.
• Образ множества $E \subset X$: $f(E) = \{y \in Y \mid \exists x \in E: y = f(x)\}$.
• Прообраз множества $C \subset Y$: $f^{-1}(C) = \{x \in X \mid f(x) \in C\}$.
• График отображения $f$: $\Gamma_f = \{(x, y) \in X \times Y \mid y = f(x)\}$.
• Композиция отображений $f: X \to Y$ и $g: Y \to Z$: $(g \circ f)(x) := g(f(x))$.

Формулы для образов и прообразов: $$ \begin{aligned} f(A_1 \cup A_2) &= f(A_1) \cup f(A_2) \\ f(A_1 \cap A_2) &\subset f(A_1) \cap f(A_2) \\ f^{-1}(B_1 \cup B_2) &= f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \\ f^{-1}(B_1 \cap B_2) &= f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \\ f^{-1}(B^C) &= (f^{-1}(B))^C \end{aligned} $$

1.5.1. Типы отображений (с пояснениями)

Инъекция (вложение)

Простыми словами: функция «не склеивает» разные элементы — разные входные данные всегда дают разные результаты.

Ключевая идея: если два результата одинаковые, значит, и входные данные были одинаковыми.

Пример с учениками и шкафчиками:

• У каждого ученика есть свой шкафчик.
• Два разных ученика не могут пользоваться одним шкафчиком.
• Но некоторые шкафчики могут оставаться пустыми.

Математическая запись: $$ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $$ или эквивалентно: $$ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Ещё пример: функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$ — инъекция. Если $f(a) = f(b)$, то $2a + 3 = 2b + 3$, значит, $a = b$.

Сюръекция (накрытие)

Простыми словами: функция «покрывает» всё целевое множество — каждый элемент из результата имеет хотя бы один прообраз.

Ключевая идея: в целевом множестве нет «лишних» элементов, до которых функция не может «дотянуться».

Пример с билетами в кино:

• Есть зал на 50 мест и 70 билетов.
• Все места в зале заняты (возможно, на некоторых сидят по два человека).
• Никто не сидит за пределами зала.

Математическая запись: $$ \forall y \in Y\ \exists x \in X: f(x) = y $$

Ещё пример: пусть $X = \mathbb{Z}$ (целые числа), $Y = \mathbb{N}_0$ (натуральные с нулём), $f(x) = |x|$. Тогда $f$ — сюръекция, так как для любого $n \in \mathbb{N}_0$ существует $x = n$ или $x = -n$, что $f(x) = n$.

Биекция (взаимно однозначное соответствие)

Простыми словами: идеальное соответствие «один к одному» между двумя множествами.

Ключевая идея: одновременно выполняются два условия:

1. Разные элементы переходят в разные (инъекция).
2. Всё целевое множество покрыто (сюръекция).

Пример с танцем:

• В зале 10 мужчин и 10 женщин.
• Каждый мужчина танцует с одной женщиной.
• Каждая женщина танцует с одним мужчиной.
• Никого не осталось без пары.

Математически: биекция — это когда отображение одновременно инъективно и сюръективно.

Ещё пример: функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$ — биекция. Каждому числу соответствует уникальное число на 1 больше, и любое вещественное число можно получить, вычтя 1 из какого‑то другого вещественного числа.

Сравнительная таблица типов отображений

Важное следствие: если между двумя множествами есть биекция, они «одинаково большие» (равномощные). Это работает даже для бесконечных множеств! Например, $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$ равномощны.

1.5.2. Теоремы о композиции отображений

Теорема 1 (ассоциативность композиции)

Формулировка: для отображений $f: A \to B$, $g: B \to C$, $h: C \to D$ выполнено: $$ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f). $$

Пояснение: порядок расстановки скобок при композиции трёх отображений не влияет на итоговый результат. Можно сначала найти $g \circ f$, а затем применить $h$, или сначала $h \circ g$, а затем применить к результату $f$ — получится одно и то же отображение.

Пример:

• $f(x) = x + 1$,
• $g(x) = x^2$,
• $h(x) = \sqrt{x}$.

Тогда:

• $(h \circ (g \circ f))(x) = h(g(f(x))) = h((x + 1)^2) = \sqrt{(x + 1)^2}$;
• $((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = h(g(x + 1)) = \sqrt{(x + 1)^2}$.

Результаты совпадают.

Теорема 2 (композиция инъекций)

Формулировка: если $f: A \to B$ и $g: B \to C$ — инъекции, то $g \circ f: A \to C$ — инъекция.

Пояснение: если каждое из отображений «не склеивает» элементы (разные входные данные дают разные результаты), то и их последовательное применение тоже не будет «склеивать» элементы.

Пример:

• $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$ — инъекция (разные числа удваиваются в разные);
• $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$ — инъекция (к разным числам прибавляется 3, получаются разные);
• тогда $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 3$ — тоже инъекция.

Теорема 3 (композиция сюръекций)

Формулировка: если $f: A \to B$ и $g: B \to C$ — сюръекции, то $g \circ f: A \to C$ — сюръекция.

Пояснение: если каждое отображение «покрывает» всё своё целевое множество, то и их композиция «покроет» конечное целевое множество $C$. Каждый элемент $C$ будет достижим из какого‑то элемента $A$.

Пример:

• $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0$, $f(x) = |x|$ — сюръекция (каждое натуральное число с нулём достигается: $0 = |0|$, $1 = |1| = |-1|$, и т. д.);
• $g: \mathbb{N}_0 \to \{0, 1\}$, $g(n) = n \mod 2$ — сюръекция (оба элемента $\{0, 1\}$ достигаются: $0$ — чётными числами, $1$ — нечётными);
• тогда $(g \circ f): \mathbb{Z} \to \{0, 1\}$, $(g \circ f)(x) = |x| \mod 2$ — тоже сюръекция.

Теорема 4 (композиция биекций)

Формулировка: если $f: A \to B$ и $g: B \to C$ — биекции, то $g \circ f: A \to C$ — биекция.

Пояснение: биекция — это отображение «один к одному», которое одновременно инъективно и сюръективно. Если оба отображения устанавливают взаимно однозначное соответствие, то и их композиция сохранит это свойство: каждому элементу $A$ будет соответствовать ровно один элемент $C$, и наоборот.

Пример:

• $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$ — биекция (сдвиг на 1 сохраняет уникальность и покрывает все вещественные числа);
• $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 2x$ — биекция (умножение на 2 — обратимая операция);
• тогда $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2$ — биекция (линейная функция с ненулевым коэффициентом).

Важное замечание: композиция отображений не коммутативна. То есть, в общем случае $g \circ f \neq f \circ g$.

Контрпример:

• $f(x) = x + 1$, $g(x) = x^2$;
• $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x + 1)^2$;
• $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 1$.

При $x = 1$: $(1 + 1)^2 = 4$, но $1^2 + 1 = 2$. Значит, $(g \circ f) \neq (f \circ g)$.

1.6. Мощность множеств

Определения:

• Мощность множества — обобщение понятия «количество элементов» на бесконечные множества (кардинальное число). Обозначается $|A|$ или $\text{card}\, A$. Два множества $A$ и $B$ называются равномощными ($A \sim B$), если между ними можно установить биекцию (взаимно‑однозначное соответствие). Для конечного множества мощность совпадает с количеством его элементов.
• Счётное множество — множество, равномощное множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$ (его элементы можно занумеровать). Обозначается мощность счётного множества как $\aleph_0$ (алеф‑ноль). Примеры: $\mathbb{Z}$ (целые числа), $\mathbb{Q}$ (рациональные числа).
• Несчётное множество — бесконечное множество, которое не является счётным. Его элементы невозможно перенумеровать натуральными числами. Пример: $\mathbb{R}$ (вещественные числа).
• Континуальное множество (множество мощности континуума) — множество, равномощное $\mathbb{R}$. Обозначается мощность континуума как $\mathfrak{c}$ или $2^{\aleph_0}$. Примеры: отрезок $[0, 1]$, интервал $(0, 1)$, множество иррациональных чисел, $\mathbb{C}$ (комплексные числа).
• Булеан (множество-степень) $\mathcal{P}(X)$ — множество всех подмножеств данного множества $X$.
• Сравнение мощностей:
  • $|A| \leq |B|$, если существует инъекция из $A$ в $B$ (множество $A$ «не мощнее» $B$).
  • $|A| < |B|$, если $|A| \leq |B|$ и $|A| \neq |B|$ (мощность $A$ строго меньше мощности $B$).

Теоремы о мощности:

• Теорема 1 (счётность $\mathbb{Q}$). Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ счётно.

  • Пояснение. Несмотря на то, что рациональных чисел бесконечно много и они расположены всюду плотно, их все же можно пересчитать натуральными числами (диагональная схема Кантора). Это следует также из того, что $\mathbb{Q}$ можно представить как объединение счётного числа счётных множеств (дробей с фиксированным знаменателем).

• Теорема 2 (несчётность $\mathbb{R}$). Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ несчётно (теорема Кантора).

  • Пояснение. Вещественных чисел настолько много, что их невозможно перенумеровать. Диагональный метод Кантора показывает, что любая попытка такой нумерации обречена на провал: можно построить число, не входящее в список. Отсюда следует, что $|\mathbb{N}| = \aleph_0 < \mathfrak{c} = |\mathbb{R}|$.

• Теорема 3 (Кантора о булеане). Для любого множества $X$ его мощность строго меньше мощности его булеана: $|X| < |\mathcal{P}(X)|$. В частности, $|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|$, так как $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$.

  • Пояснение. Эта теорема демонстрирует существование бесконечной иерархии мощностей: $\aleph_0 < 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}} < \dots$

• Теорема 4 (Кантора–Бернштейна). Если $|A| \leq |B|$ и $|B| \leq |A|$, то $|A| = |B|$.

  • Пояснение. Если существуют инъекции $f: A \to B$ и $g: B \to A$, то существует и биекция между $A$ и $B$. Эта теорема позволяет доказывать равномощность множеств, не строя явной биекции, а лишь указывая взаимно однозначные вложения в обе стороны.

• Теорема 5 (о свойствах счётных множеств).

  1. Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
  2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
  3. Декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно (например, $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \sim \mathbb{N}$).

Краткая иерархия мощностей:

1. Конечные мощности: $0, 1, 2, \dots, n$ (мощность пустого множества, одноэлементного и т. д.).
2. $\aleph_0 = |\mathbb{N}|$ — счётная мощность (наименьшая бесконечная мощность).
3. $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|$ — мощность континуума.
4. $2^{\mathfrak{c}} = |\mathcal{P}(\mathbb{R})|$ — следующая по величине мощность и т. д.

Континуум‑гипотеза: не существует множества $X$, такого что $\aleph_0 < |X| < \mathfrak{c}$. Эта гипотеза независима от стандартной аксиоматики теории множеств (ZFC): её нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой системы.

1.7. Метрические пространства

Определения:

• Метрика на множестве $X$ — функция $\rho: X \times X \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая аксиомам:
  1. $\rho(x, y) \ge 0$, $\rho(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ (неотрицательность и тождество)
  2. $\rho(x, y) = \rho(y, x)$ (симметрия)
  3. $\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z)$ (неравенство треугольника)
• Метрическое пространство — пара $(X, \rho)$, где $X$ — множество, $\rho$ — метрика на $X$.
• Открытый шар с центром $a$ и радиусом $r > 0$: $B_r(a) = \{x \in X \mid \rho(x, a) < r\}$.
• Замкнутый шар: $\overline{B}_r(a) = \{x \in X \mid \rho(x, a) \le r\}$.
• Окрестность точки $a$ — любое открытое множество, содержащее $a$.

Топологические понятия:

Теоремы:

• Теорема 1 (Гейне-Бореля). В $\mathbb{R}^n$ множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
• Теорема 2 (о замыкании). $\overline{A}$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$.
• Теорема 3 (о внутренности). $\operatorname{int} A$ — наибольшее открытое множество, содержащееся в $A$.

1.8. Алгебраические структуры на множествах (краткий обзор)

Алгебраическая структура — это множество $X$ с одной или несколькими операциями $\Omega$, удовлетворяющими определённым аксиомам. Формально записывается как $(X, \Omega)$.

Ключевое понятие: бинарная операция

Бинарная операция $\ast$ на множестве $X$ — это правило, сопоставляющее каждой паре элементов $(a, b) \in X \times X$ единственный элемент $c \in X$: $$ \ast: X \times X \to X, \quad (a, b) \mapsto c = a \ast b. $$

Важные замечания:

• Операция может называться «умножением» ($a \cdot b$ или $ab$) или «сложением» ($a + b$) — это способы записи, а не разные операции.
• Выбор нотации зависит от свойств операции и традиции:
  • Мультипликативная запись ($\cdot$) — если операция не обязательно коммутативна или по традиции (группы матриц, перестановок).
  • Аддитивная запись ($+$) — если операция коммутативна, особенно для числовых систем.
• Главное свойство — замкнутость: результат операции всегда принадлежит исходному множеству.

Основные типы структур (иерархия)

1. Группоид

• Определение: множество $G$ с бинарной операцией $\ast$.
• Аксиома: замкнутость: $\forall a, b \in G: a \ast b \in G$.
• Примеры:
  • $(\mathbb{R}, +)$ — вещественные числа со сложением.
  • $(\mathbb{Z}, \cdot)$ — целые числа с умножением.
  • $(\Sigma^*, \circ)$ — строки над алфавитом $\Sigma$ с конкатенацией ($\text{«ab»} \circ \text{«cd»} = \text{«abcd»}$).

2. Полугруппа

• Определение: группоид с ассоциативной операцией.
• Аксиома: $\forall a, b, c \in G: (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$.
• Примеры:
  • $(\mathbb{N}, +)$ — натуральные числа со сложением.
  • $(M_n(\mathbb{R}), \cdot)$ — квадратные матрицы порядка $n$ с умножением.

3. Моноид

• Определение: полугруппа с нейтральным элементом $e$.
• Аксиомы:
  • ассоциативность;
  • $\forall a \in G: a \ast e = e \ast a = a$.
• Примеры:
  • $(\mathbb{N}_0, +)$, где $e = 0$ — натуральные числа с нулём и сложением.
  • $(\Sigma^*, \circ)$, где $e$ — пустая строка $\varepsilon$ — строки с конкатенацией.

4. Группа

• Определение: моноид, в котором каждый элемент имеет обратный.
• Аксиомы:
  • ассоциативность;
  • нейтральный элемент $e$;
  • $\forall a \in G\ \exists a^{-1} \in G: a \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = e$.
• Примеры:
  • $(\mathbb{Z}, +)$ — целые числа со сложением ($a^{-1} = -a$).
  • $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ — рациональные числа без нуля с умножением ($a^{-1} = 1/a$).

5. Абелева (коммутативная) группа

• Определение: группа с коммутативной операцией.
• Аксиома: $\forall a, b \in G: a \ast b = b \ast a$.
• Примеры: $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{C}, +)$.

6. Кольцо

• Определение: множество $R$ с двумя операциями: сложением ($+$) и умножением ($\cdot$).
• Аксиомы:
  • $(R, +)$ — абелева группа (нейтральный элемент $0$);
  • $(R, \cdot)$ — полугруппа;
  • дистрибутивность: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
• Примеры: $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$, $(M_n(\mathbb{R}), +, \cdot)$.

7. Поле

• Определение: коммутативное кольцо с единицей, в котором $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ — группа.
• Полная система аксиом для поля $(F, +, \cdot)$:
  • $(F, +)$ — абелева группа:
    • ассоциативность: $(a + b) + c = a + (b + c)$;
    • коммутативность: $a + b = b + a$;
    • нейтральный элемент (ноль): $\exists 0 \in F: \forall a \in F\ a + 0 = a$;
    • обратный элемент (противоположный): $\forall a \in F\ \exists (-a) \in F: a + (-a) = 0$.
  • $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ — абелева группа:
    • ассоциативность: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$;
    • коммутативность: $a \cdot b = b \cdot a$;
    • нейтральный элемент (единица): $\exists 1 \in F: \forall a \in F \setminus \{0\}\ a \cdot 1 = a$;
    • обратный элемент: $\forall a \in F \setminus \{0\}\ \exists a^{-1} \in F: a \cdot a^{-1} = 1$.
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения:
    • $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$;
    • $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
• Примеры: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$.

Краткая таблица структур

Связь с аксиоматикой ZFC

• Бинарная операция — это подмножество декартова произведения: $\ast \subset X \times X \times X$, где $(a, b, c) \in \ast$ означает $a \ast b = c$.
• Существование структур гарантируется аксиомами ZFC:
  • аксиома пары и объединения — построение декартовых произведений;
  • аксиома выделения — выделение подмножеств, удовлетворяющих аксиомам структуры;
  • аксиома бесконечности — существование бесконечных структур (например, $(\mathbb{N}, +)$).

Важные комментарии для шпаргалки

1. Иерархия: каждая следующая структура наследует свойства предыдущей:
   • все группы — моноиды;
   • все моноиды — полугруппы;
   • все полугруппы — группоиды.
2. Нотация:
   • в аддитивной записи нейтральный элемент — $0$, обратный — $-a$;
   • в мультипликативной записи нейтральный элемент — $1$, обратный — $a^{-1}$.
3. Некоммутативность: многие структуры (группы матриц, кватернионов) не коммутативны. Всегда проверяйте условие $a \ast b = b \ast a$.
4. Замкнутость: ключевой критерий. Например, $(\mathbb{N}, -)$ не является группоидом, так как $1 - 2 \notin \mathbb{N}$.
5. Примеры из анализа:
   • $(\mathbb{R}^n, +)$ — абелева группа векторов;

2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА $\mathbb{R}$

2.1. Числовые множества

Определения:

Включения числовых множеств: $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$

2.2. Аксиомы поля (алгебраические свойства)

Аксиомы сложения:

Аксиомы умножения:

Аксиома связи сложения и умножения:

• Пояснение. Аксиомы поля определяют привычные нам правила сложения и умножения чисел. Это базовая алгебра, которая делает $\mathbb{R}$ полем — структурой, где определены две операции, обладающие свойствами коммутативности, ассоциативности, наличием нейтральных и обратных элементов, а также связанные законом дистрибутивности.

2.3. Аксиомы порядка

Аксиомы отношения $\le$:

Аксиомы связи порядка с арифметическими операциями:

• Пояснение. Аксиомы порядка определяют, что значит «больше» или «меньше», и как порядок согласован с арифметическими операциями. Множество, удовлетворяющее аксиомам поля и порядка, называется упорядоченным полем. $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$ являются упорядоченными полями, а $\mathbb{C}$ — нет.

2.4. Аксиома непрерывности (полноты)

Определение:

• Непрерывность (полнота) — свойство упорядоченного поля, гарантирующее отсутствие «дыр» на числовой прямой. Это самая важная аксиома, отличающая $\mathbb{R}$ от $\mathbb{Q}$.

Эквивалентные формулировки:

• Пояснение (к форме Вейерштрасса). Рассмотрим множество $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$. Оно ограничено сверху (например, числом $2$), но в $\mathbb{Q}$ у него нет точной верхней грани, так как $\sqrt{2}$ не является рациональным числом. В $\mathbb{R}$ такая грань существует всегда.

2.5. Точные грани числовых множеств

2.5.1. Основные определения

Определения граней:

• Пояснение. Точная верхняя грань — это наименьшее число, которое ограничивает множество сверху. Это не обязательно максимум (который должен принадлежать множеству). Например, для множества $X = (0, 1)$ имеем $\sup X = 1$, но $\max X$ не существует. Аналогично для нижней грани (инфимума).

Определения ограниченности:

2.5.2. Критерии точных граней

Критерий супремума: $$ M = \sup X \iff \begin{cases} 1)\ \forall x \in X: x \le M & \text{(M — верхняя грань)} \\ 2)\ \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in X: x_\varepsilon > M - \varepsilon & \text{(M — наименьшая)} \end{cases} $$

Критерий инфимума: $$ m = \inf X \iff \begin{cases} 1)\ \forall x \in X: x \ge m & \text{(m — нижняя грань)} \\ 2)\ \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in X: x_\varepsilon < m + \varepsilon & \text{(m — наибольшая)} \end{cases} $$

• Пояснение. Второе условие в каждом критерии означает, что никакое число, меньшее $M$ (или большее $m$), уже не может быть верхней (нижней) гранью, поскольку найдется элемент множества, который окажется больше этого числа (или меньше). Это формализует понятие «наименьшая из верхних граней» и «наибольшая из нижних граней».

2.5.3. Теоремы о точных гранях

Теорема 1 (существование точных граней). Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество $\mathbb{R}$ имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

• Пояснение. Эта теорема является прямым следствием аксиомы непрерывности (полноты) в форме Вейерштрасса. Именно она отличает $\mathbb{R}$ от $\mathbb{Q}$.

Теорема 2 (единственность точной грани). Если точная верхняя (нижняя) грань множества существует, то она единственна.

Теорема 3 (об отделимости множеств). Если $X, Y \subset \mathbb{R}$ — непустые множества, и для любых $x \in X$, $y \in Y$ выполняется $x \le y$, то существует число $\xi \in \mathbb{R}$, разделяющее эти множества: $$ \forall x \in X,\ \forall y \in Y: x \le \xi \le y $$

• Пояснение. В качестве $\xi$ можно взять $\sup X$ (или $\inf Y$), и из условия $x \le y$ следует $\sup X \le \inf Y$.

2.5.4. Свойства точных граней

Свойства, связанные с арифметическими операциями:

Свойства, связанные с порядком:

2.5.5. Связь с максимумом и минимумом

Определения:

Связь между супремумом и максимумом: $$ \max X = \sup X \iff \sup X \in X $$ Аналогично: $$ \min X = \inf X \iff \inf X \in X $$

• Пояснение. Максимум (минимум) — это точная верхняя (нижняя) грань, которая принадлежит самому множеству.

Примеры:

2.5.6. Связь с пределом последовательности

Теорема (о пределе монотонной ограниченной последовательности). Если последовательность $\{x_n\}$ монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится, и $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \sup\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} $$ Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \inf\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} $$

• Пояснение. Эта теорема является одним из важнейших следствий существования точных граней. Фактически, супремум монотонно возрастающей последовательности — это её предел.

2.6. Аксиома Архимеда

Аксиома (или теорема, следующая из непрерывности): $$ \forall x, y \in \mathbb{R},\ x > 0,\ y > 0\ \exists n \in \mathbb{N}: n \cdot x > y $$

• Пояснение. Какое бы маленькое положительное число $x$ мы ни взяли, умножая его на достаточно большое натуральное число $n$, мы можем превзойти любое наперед заданное число $y$. Это гарантирует, что в $\mathbb{R}$ нет бесконечно малых или бесконечно больших чисел в нестрогом смысле.

2.7. Следствия из аксиом

Теоремы, вытекающие из аксиом непрерывности и Архимеда:

2.8. Числовые промежутки и окрестности

Определения промежутков (для $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$):

Определения окрестностей:

• $\varepsilon$-окрестность точки $a$: $U_\varepsilon(a) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - a| < \varepsilon\}$.
• Проколотая $\varepsilon$-окрестность точки $a$: $\dot{U}_\varepsilon(a) = U_\varepsilon(a) \setminus \{a\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \varepsilon\}$.

2.9. Сравнительная характеристика числовых множеств

• Пояснение. Каждое следующее числовое множество расширяет предыдущее, устраняя определенные недостатки: $\mathbb{Z}$ добавляет противоположные элементы к $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$ добавляет обратные элементы к $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$ добавляет полноту (отсутствие «дыр») к $\mathbb{Q}$, а $\mathbb{C}$ добавляет алгебраическую замкнутость (существование корней всех многочленов) к $\mathbb{R}$.

2.10. Геометрическая интерпретация и вычислительные аспекты

2.10.1. Геометрическая интерпретация $\mathbb{R}$

Числовая прямая:

• Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между $\mathbb{R}$ и точками прямой (координатной оси).
• Каждому $x \in \mathbb{R}$ соответствует единственная точка, и наоборот.
• Модуль числа $|x|$ — расстояние от точки $x$ до нуля.
• Расстояние между точками $x$ и $y$: $d(x, y) = |x - y|$.

Свойства модуля:

2.10.2. Вычислительные аспекты операций с $\mathbb{R}$

Проблема: Компьютер работает с конечным множеством чисел (машинная арифметика), а $\mathbb{R}$ несчётно. Отсюда возникают вычислительные погрешности.

1. Представление чисел (машинные числа):

• Целые типы: Точное представление целых чисел в ограниченном диапазоне.
• Типы с плавающей точкой (стандарт IEEE 754): $x = \pm 1{.}d_1 d_2 \dots d_k \times 2^E$.
  • Пример: float (32 бита) и double (64 бита).
  • Представляются не все $\mathbb{R}$, а лишь конечное подмножество.

2. Погрешности:

• Ошибка округления (rounding error): Число $\pi$ или $0.1$ в двоичной системе представляются бесконечной дробью $\Rightarrow$ неизбежное округление.
• Машинный эпсилон ($\varepsilon_{\text{mach}}$): Наименьшее число, такое что $1 + \varepsilon_{\text{mach}} \neq 1$ в машинной арифметике.

3. Арифметические операции на компьютере: Результат операции $\oplus$ (машинное сложение) связан с точным результатом $+$: $$ x \oplus y = \text{round}(x + y) = (x + y)(1 + \delta), \quad |\delta| \le \varepsilon_{\text{mach}} $$

Типичные вычислительные проблемы:

4. Практические рекомендации:

• Избегать вычитания близких чисел (переписать формулу аналитически).

• Суммировать числа от меньших к большим для уменьшения погрешности.

• Использовать более высокую точность (long double или многократную точность).

• Пояснение (задачи и упражнения, 61). Типовые задачи на эту тему: нахождение абсолютной и относительной погрешности, доказательство равенств с модулями ($|x - z| \le |x - y| + |y - z|$), представление чисел в IEEE 754, анализ устойчивости алгоритмов.

2.11. Основные леммы, связанные с полнотой $\mathbb{R}$

• Пояснение. Три фундаментальные леммы являются эквивалентными формулировками полноты (непрерывности) $\mathbb{R}$ и широко используются в анализе.

2.11.1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора)

Формулировка: Пусть дана последовательность вложенных отрезков $[a_n, b_n]$, т.е. $$ [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n] \quad \forall n \in \mathbb{N}. $$ Тогда существует хотя бы одна точка $\xi \in \mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам: $$ \xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]. $$ Если дополнительно $b_n - a_n \to 0$ при $n \to \infty$, то такая точка единственна.

• Пояснение. Принцип гарантирует, что «стягивающаяся последовательность отрезков» имеет общую точку. В $\mathbb{Q}$ это не так: возьмем $a_n$ и $b_n$ как десятичные приближения $\sqrt{2}$ снизу и сверху. В $\mathbb{R}$ общей точкой будет $\sqrt{2}$.

2.11.2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега)

Формулировка: Из любого покрытия отрезка $[a, b]$ бесконечной системой интервалов можно выделить конечное подпокрытие.

В терминах: Если $[a, b] \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$, где $U_\alpha$ — открытые интервалы, то существует конечный набор индексов $\alpha_1, \dots, \alpha_k \in A$ такой, что $$ [a, b] \subset \bigcup_{i=1}^k U_{\alpha_i}. $$

• Пояснение. Это свойство называется компактностью отрезка. Для интервала $(0, 1)$ это неверно: покрытие $(0, 1) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n+2}, \frac{1}{n}\right)$ не допускает конечного подпокрытия.

2.11.3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса)

Определения:

Формулировка: Всякое бесконечное ограниченное множество $X \subset \mathbb{R}$ имеет хотя бы одну предельную точку.

• Пояснение. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса для последовательностей).

2.11.4. Связь между леммами

Все три леммы эквивалентны аксиоме непрерывности (полноты) и друг другу:

$$ \text{Аксиома Вейерштрасса} \iff \text{Лемма Кантора} \iff \text{Лемма Бореля-Лебега} \iff \text{Лемма Больцано-Вейерштрасса} $$

Схема доказательства эквивалентности:

1. Из полноты (Вейерштрасс) $\Rightarrow$ Кантор (построением $\xi = \sup\{a_n\}$).
2. Из Кантора $\Rightarrow$ Больцано-Вейерштрасс (методом деления отрезка пополам).
3. Из Больцано-Вейерштрасса $\Rightarrow$ Борель-Лебег (от противного).
4. Из Борель-Лебега $\Rightarrow$ полнота (Вейерштрасс).

• Пояснение (задачи и упражнения, 61). Типовые задачи: доказательство сходимости последовательности с помощью вложенных отрезков, нахождение предельных точек множества $\left\{\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \mid n, m \in \mathbb{N}\right\}$, применение принципа Бореля-Лебега для доказательства теорем о непрерывных функциях.

3. Последовательности и их пределы

3.1. Основные понятия

Определения:

• Числовая последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — функция $x: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие вещественное число $x_n$.
• Ограниченная последовательность: $\exists C > 0: \forall n \in \mathbb{N},\ |x_n| \le C$.
• Монотонная последовательность:
  • возрастающая: $x_{n+1} > x_n$;
  • неубывающая: $x_{n+1} \ge x_n$;
  • убывающая: $x_{n+1} < x_n$;
  • невозрастающая: $x_{n+1} \le x_n$.
• Подпоследовательность: $\{x_{n_k}\}$, где $n_1 < n_2 < \dots$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.
• Фундаментальная последовательность (последовательность Коши): $\forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb{N}: \forall m,n > N \Rightarrow |x_m - x_n| < \varepsilon$.
• Частичный предел последовательности: число $a$ (конечное или бесконечное), если существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$, такая что $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a$.
• Эквивалентные бесконечно малые последовательности: $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$ называются эквивалентными ($\alpha_n \sim \beta_n$), если $\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha_n}{\beta_n} = 1$.
• О‑символика:
  • $\alpha_n = o(\beta_n)$, если $\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha_n}{\beta_n} = 0$;
  • $\alpha_n = O(\beta_n)$, если существует $C > 0$ и $N \in \mathbb{N}$: $|\alpha_n| \le C |\beta_n|$ для всех $n > N$.
• Скорость сходимости: последовательность $\{x_n\}$ сходится к $a$ со скоростью:
  • линейной, если $\exists \lambda \in (0,1)$: $|x_{n+1} - a| \le \lambda |x_n - a|$;
  • квадратичной, если $\exists C > 0$: $|x_{n+1} - a| \le C |x_n - a|^2$.
• Равномерная ограниченность: семейство последовательностей $\{x_n^{(k)}\}$ называется равномерно ограниченным, если $\exists C > 0: \forall k,n \in \mathbb{N},\ |x_n^{(k)}| \le C$.
• Асимптотическая эквивалентность: последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ асимптотически эквивалентны, если $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = 1$.
• Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:
  • бесконечно малая: $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$;
  • бесконечно большая: $\forall M > 0\ \exists N: \forall n > N \Rightarrow |x_n| > M$ (пишут $\lim x_n = \infty$).

Пояснения:

• Подпоследовательность сохраняет порядок следования элементов исходной последовательности, но может пропускать некоторые из них.
• Фундаментальность — внутреннее свойство последовательности: для сходимости не требуется знать сам предел.

3.2. Определения, связанные с пределом

Предел последовательности ($\varepsilon$-$N$ определение): $$ \lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon. $$ Пояснение: начиная с некоторого номера $N$, все члены последовательности попадают в $\varepsilon$-окрестность точки $a$.

Бесконечно малая: $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$. Бесконечно большая: $\forall M > 0\ \exists N: \forall n > N \Rightarrow |x_n| > M$ (пишут $\lim x_n = \infty$). Верхний и нижний пределы:

• $\varlimsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{k \ge n} x_k \right)$ — наибольший частичный предел;
• $\varliminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k \ge n} x_k \right)$ — наименьший частичный предел. Пояснение: верхний и нижний пределы всегда существуют (в расширенной числовой прямой $\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$) и совпадают тогда и только тогда, когда существует обычный предел.

Аксиома полноты (непрерывности) действительных чисел (Дедекинда): Для любого разбиения множества $\mathbb{R}$ на два непустых подмножества $A$ и $B$, таких что $\forall a \in A,\ \forall b \in B\ a \le b$, существует число $c \in \mathbb{R}$, разделяющее $A$ и $B$: $\forall a \in A,\ \forall b \in B\ a \le c \le b$. Пояснение: эта аксиома лежит в основе сходимости монотонных ограниченных последовательностей и существования супремума/инфимума.

3.3. Теоремы о пределах последовательностей

Основные теоремы:

1. Единственность предела. Если предел существует, то он единственен.
2. Ограниченность сходящейся последовательности. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
3. Сохранение знака предела. Если $\lim x_n = a > 0$, то $\exists N: \forall n > N, x_n > 0$. Аналогично для $a < 0$.
4. Предельный переход в неравенствах. Если $x_n \le y_n$ для $n > N$, то $\lim x_n \le \lim y_n$.
5. Теорема о двух милиционерах (о сжатой переменной). Если $x_n \le y_n \le z_n$ и $\lim x_n = \lim z_n = L$, то $\lim y_n = L$.
6. Арифметические свойства пределов (если пределы конечны):
   • $\lim (x_n \pm y_n) = \lim x_n \pm \lim y_n$;
   • $\lim (x_n \cdot y_n) = \lim x_n \cdot \lim y_n$;
   • $\lim (c \cdot x_n) = c \cdot \lim x_n$;
   • $\lim \left(\frac{x_n}{y_n}\right) = \frac{\lim x_n}{\lim y_n}$ (при $\lim y_n \neq 0$).
7. Связь предела и частичных пределов. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда $\varliminf x_n = \varlimsup x_n$, и в этом случае общий предел равен этому значению.
8. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших:
   • сумма и произведение конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая;
   • произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую — бесконечно малая;
   • если $\{x_n\}$ — бесконечно большая, то $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ — бесконечно малая (начиная с некоторого номера);
   • если $\{x_n\}$ — бесконечно малая и $x_n \ne 0$, то $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ — бесконечно большая.
9. Теорема о пределе среднего арифметического. Если $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, то $\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = a$.
10. Теорема о пределе среднего геометрического. Если $x_n > 0$ и $\lim_{n \to∞} x_n = a > 0$, то $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} = a$.

Критерии сходимости:

1. Теорема Вейерштрасса. Монотонная и ограниченная последовательность сходится:
   • неубывающая и ограниченная сверху $\Rightarrow \lim x_n = \sup\{x_n\}$;
   • невозрастающая и ограниченная снизу $\Rightarrow \lim x_n = \inf\{x_n\}$.
2. Теорема Больцано‑Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
3. Критерий Коши. Последовательность сходится $\iff$ она фундаментальна.
4. Теорема Штольца (аналог правила Лопиталя для последовательностей): если $\{b_n\}$ строго возрастает и неограниченно возрастает, то $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}, $$ при условии существования предела справа.
5. Критерий расходимости. Если существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$, такая что $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \infty$, то последовательность $\{x_n\}$ расходится.
6. Критерий сходимости знакочередующихся последовательностей (аналог признака Лейбница): если $|x_n|$ монотонно стремится к 0, то $\sum (-1)^n x_n$ сходится.

3.4. Замечательные пределы

Классические:

• $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$;
• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \ (a > 0)$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \ (a > 1, k \in \mathbb{N})$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^p} = 0 \ (p > 0)$.

Тригонометрические:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2} = \frac{1}{2}$.

Логарифмические:

• $\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{a} - 1 \right) = \ln a \ (a > 0)$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{\log_a n}{n} = 0 \ (a > 1)$.

Экспоненциальные:

• $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x \ (x \in \mathbb{R})$;
• $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$;
• $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = e$.

С корнями:

• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \ (a > 0)$;
• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}$.

Отношения факториалов и степеней:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} = 0$;
• $\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n!} = +\infty$.

3.5. Формулы и асимптотические оценки

Асимптотические формулы:

• $\sqrt[n]{n} = 1 + \frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right)$;
• $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e - \frac{e}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

Суммы последовательностей:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1^k + 2^k + \dots + n^k}{n^{k+1}} = \frac{1}{k+1} \ (k \in \mathbb{N})$;
• $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \gamma$ (постоянная Эйлера‑Маскерони).

Рекуррентные последовательности:

• если $x_{n+1} = \sqrt{a + x_n}$, $x_1 = \sqrt{a}$, то $\lim x_n = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}$;
• если $x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$, $x_1 > 0$, то $\lim x_n = \sqrt{a}$.

Формула Стирлинга (асимптотика факториала): $$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \quad \text{при } n \to \infty. $$

Сравнение скоростей роста при $n \to \infty$ (для $p > 0, a > 1$): $$ \ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n. $$

Лемма о вложенных отрезках (Кантор). Если дана последовательность вложенных отрезков $[a_n, b_n]$, таких что $a_n \le a_{n+1}$, $b_{n+1} \le b_n$ и $b_n - a_n \to 0$, то существует единственная точка $c$, принадлежащая всем отрезкам, и $\lim a_n = \lim b_n = c$.

3.6. Пояснения и практические рекомендации

Примеры использования замечательных пределов:

1. Для вычисления $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ используем $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$ → ответ: $e^2$.
2. Для $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{100}}{2^n}$ используем $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0$ → ответ: 0.

Разберу подробнее типичные ошибки и практические советы — с конкретными примерами и пояснениями.

Типичные ошибки (с примерами)

1. Применение арифметических свойств к несуществующим пределам

Ошибка: $$ \lim_{n \to \infty} \left( n - n \right) \stackrel{?}{=} \lim_{n \to \infty} n - \lim_{n \to \infty} n = \infty - \infty $$ Это некорректно, так как оба предела бесконечны.

Правильно: сначала упрощаем выражение: $$ \lim_{n \to \infty} (n - n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0. $$

2. Путаница между существованием предела подпоследовательности и всей последовательности

Пример ошибки: для последовательности $x_n = (-1)^n$ неверно утверждать, что она сходится, потому что подпоследовательность чётных номеров $x_{2k} = 1$ сходится к 1.

Пояснение: хотя подпоследовательности $\{x_{2k}\}$ и $\{x_{2k+1}\}$ имеют пределы (1 и −1 соответственно), сама последовательность не имеет предела, так как верхний и нижний пределы не совпадают: $\varlimsup x_n = 1$, $\varliminf x_n = -1$.

3. Неверное применение асимптотических оценок

Ошибка: утверждение, что $\sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ можно использовать в любом контексте.

Когда это неверно: в выражениях типа $\lim_{n \to \infty} n \left( \sin \frac{1}{n} - \frac{1}{n} \right)$. Здесь замена на эквивалентное даст $n(0) = 0$, но правильный ответ — $0$ (требуется более точный анализ).

Правильное применение: эквивалентности можно использовать только в произведениях и частных, но не в суммах и разностях.

4. Игнорирование условий теорем

Ошибка: применение теоремы Вейерштрасса к немонотонной последовательности.

Пример: последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ ограничена, но не монотонна. Нельзя сразу утверждать сходимость по теореме Вейерштрасса.

5. Некорректное использование формулы Стирлинга

Ошибка: замена $n!$ на $\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ в выражениях, где важна точность младших членов.

Пример: при вычислении $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n! \cdot n}$ нельзя просто подставить асимптотику — нужно сначала упростить: $\frac{(n+1)n!}{n! \cdot n} = \frac{n+1}{n} \to 1$.

6. Ошибки в применении теоремы Штольца

Ошибка: использование теоремы без проверки условий (строгого возрастания и неограниченного роста знаменателя).

Пример: для $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ нельзя применять теорему Штольца, так как $\sin n$ не монотонен.

Практические советы (с рекомендациями)

1. Проверка монотонности и ограниченности

Как проверять:

• монотонность: сравните $x_{n+1} - x_n$ или $\frac{x_{n+1}}{x_n}$;
• ограниченность: найдите верхнюю/нижнюю границу.

Пример: для $x_n = \frac{n}{n+1}$:

• монотонность: $x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ — возрастает;
• ограниченность: $x_n < 1$ для всех $n$.

2. Использование асимптотических оценок

Правила:

• используйте эквивалентности только в произведениях/частных;
• для сумм/разностей используйте разложения Тейлора;
• сохраняйте главные члены при упрощении.

Пример: $\ln(1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$, но $n \ln(1 + \frac{1}{n}) \to 1$ (не 0!).

3. Применение теоремы Штольца

Алгоритм:

1. Убедитесь, что знаменатель строго возрастает и стремится к бесконечности.
2. Вычислите $\lim \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$.
3. Если предел существует, он равен исходному.

Пример: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n^3} \stackrel{\text{Штольц}}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^3 - n^3} = \lim \frac{n^2 + 2n + 1}{3n^2 + 3n + 1} = \frac{1}{3}. $$

4. Работа с рекуррентными последовательностями

Пошаговый метод:

1. Найдите неподвижные точки: решите $x = f(x)$.
2. Проверьте монотонность и ограниченность.
3. Примените теорему Вейерштрасса.
4. Найдите предел как решение уравнения $L = f(L)$.

Пример: $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$, $x_1 = \sqrt{2}$.

• Неподвижная точка: $L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L = 2$.
• Последовательность возрастает и ограничена сверху 2.
• Предел: $L = 2$.

5. Использование формулы Стирлинга

Рекомендации:

• применяйте для отношений факториалов;
• упрощайте перед подстановкой;
• учитывайте точность асимптотики.

Пример: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 \cdot 4^n} \stackrel{\text{Стирлинг}}{\sim} \lim \frac{\sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n} \cdot 4^n} = \lim \frac{2^{2n}}{4^n \sqrt{\pi n}} = \lim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. $$

6. Дополнительные практические приёмы

• Метод сжатия: если $x_n \le y_n \le z_n$ и $\lim x_n = \lim z_n$, то $\lim y_n$ существует и равен им.
• Логарифмирование: для пределов вида $\lim (a_n)^{b_n}$ рассмотрите $\lim b_n \ln a_n$.
• Замена переменной: иногда полезно перейти к непрерывной переменной ($n \to x$) и применить правило Лопиталя.

4. Предел и непрерывность функций

Краткий справочник символов и обозначений

4.1. Функция: понятия, свойства, классификация

Понятия

• Функция одной переменной $y = f(x)$ — правило, по которому каждому значению $x$ из области определения $X \subset \mathbb{R}$ ставится в соответствие единственное значение $y \in \mathbb{R}$.
• Область определения $D(f)$ — множество допустимых значений аргумента.
• Область значений $E(f)$ — множество значений, которые принимает функция.
• Элементарные функции — основные классы (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические) и все функции, полученные из них с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
• Композиция функций (сложная функция): $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
• Обратная функция $f^{-1}$: для биективной функции $f: X \to Y$ выполняется $f^{-1}(f(x)) = x$ и $f(f^{-1}(y)) = y$.

Свойства функций

Практические рекомендации

• Область определения: исключить деление на ноль, отрицательное подкоренное (чётная степень), логарифм от неположительного, арксинус/арккосинус с аргументом вне $[-1, 1]$.
• Чётность/нечётность: подставить $-x$, сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$. Если ни то, ни другое — функция общего вида.
• Типовая ошибка: путать композицию $f(g(x))$ с произведением $f(x) \cdot g(x)$. Например, $\sin(x^2) \neq \sin x \cdot x^2$.

4.2. Предел функции: определения, критерии, классификация

Определение по Коши ($\varepsilon$-$\delta$)

$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \;\iff\; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : \; \forall x: 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - A| < \varepsilon $$ Пояснение: значения функции можно сделать сколь угодно близкими к $A$, взяв $x$ достаточно близко к $a$ (но не равным $a$).

Определение по Гейне

$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \;\iff\; \forall \{x_n\}: x_n \to a,\; x_n \neq a \;\Rightarrow\; f(x_n) \to A $$ Пояснение: предел существует, если на любой последовательности, стремящейся к $a$, значения функции стремятся к одному и тому же числу.

Односторонние пределы

$$ \lim_{x \to a-} f(x) = A_- \quad (\text{слева}), \qquad \lim_{x \to a+} f(x) = A_+ \quad (\text{справа}) $$

Пределы на бесконечности и бесконечные пределы

$$ \begin{aligned} &\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0 \;\exists M: \forall x > M \Rightarrow |f(x)-A| < \varepsilon \\ &\lim_{x \to a} f(x) = \infty \iff \forall M > 0 \;\exists \delta > 0: 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)| > M \end{aligned} $$

Критерий Коши существования предела (конечного)

$$ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: \; \forall x', x'' \in \mathring{U}_\delta(a) \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon $$ Пояснение: вблизи $a$ значения функции сколь угодно мало отличаются друг от друга.

Бесконечно малые и бесконечно большие

• Бесконечно малая: $\alpha(x) \to 0$ при $x \to a$.
• Бесконечно большая: $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$.

Практика: предел суммы бесконечно малых определяется слагаемым, медленнее всего стремящимся к нулю.

4.3. Непрерывность: определения, классификация разрывов, равномерная непрерывность

Непрерывность в точке

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \quad \text{или} \quad \lim_{\Delta x \to 0} \big[ f(a+\Delta x) - f(a) \big] = 0 $$ Пояснение: бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность слева / справа

$$ f(a-) = f(a) \quad \text{(слева)}, \qquad f(a+) = f(a) \quad \text{(справа)} $$

Классификация точек разрыва

Равномерная непрерывность

$$ \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0: \; \forall x_1, x_2 \in X,\ |x_1-x_2| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon $$ Пояснение: $\delta$ выбирается одинаково для всей области. Это глобальное свойство, более сильное, чем непрерывность в каждой точке.

Модуль непрерывности: $$ \omega(\delta) = \sup_{|x_1-x_2|<\delta} |f(x_1)-f(x_2)|, \qquad f \text{ равн. непр. } \Leftrightarrow \lim_{\delta\to0+}\omega(\delta)=0 $$

Алгоритм исследования на непрерывность

1. Найти $D(f)$.
2. Выделить подозрительные точки: границы областей, точки стыка формул.
3. Для каждой точки $a$:
   • вычислить $f(a)$ (если существует);
   • найти $f(a-)$ и $f(a+)$;
   • сравнить:
     • $f(a-)=f(a+)=f(a)$ → непрерывна;
     • $f(a-)=f(a+) \neq f(a)$ (или $f(a)$ не существует) → устранимый разрыв;
     • $f(a-)\neq f(a+)$ конечны → скачок;
     • иначе → разрыв II рода.

Типовые ошибки (непрерывность)

• Ошибка: считать функцию непрерывной, если $f(a-)=f(a+)$, не проверив $f(a)$.
• Ошибка: путать разрыв II рода с бесконечным пределом (последнее — его частный случай).
• Ошибка: применять теорему о равномерной непрерывности на интервале $(a,b)$ (не гарантировано).
• Ошибка: не проверять точки стыка кусочных функций.

Примеры

Пример 1. $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$

• $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}$, $\lim_{x\to2}f(x)=4$, $f(2)$ не определена → устранимый разрыв.

Пример 2. $f(x)=\begin{cases} x, & x\le1 \\ x+1, & x>1 \end{cases}$

• $f(1)=1$, $f(1-)=1$, $f(1+)=2$ → скачок величиной $1$.

4.4. Теоремы о пределах и непрерывности. Формулы и методы вычисления

Теоремы о пределах

1. Единственность: если предел существует, то единствен.
2. Арифметика: при существовании конечных пределов $$ \lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g,\quad \lim(f\cdot g)=\lim f\cdot\lim g,\quad \lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}\ (\lim g\neq0) $$
3. О двух милиционерах: если $\phi(x)\le f(x)\le\psi(x)$ в проколотой окрестности $a$ и $\lim\phi=\lim\psi=L$, то $\lim f=L$.

Замечательные пределы и следствия

Теоремы о непрерывных функциях

Локальные:

• Сохранение знака: если $f(a)>0$, то в окрестности $f(x)>0$.
• Сумма, произведение, частное (знаменатель $\neq0$), композиция непрерывных функций — непрерывны.

Глобальные (на отрезке $[a,b]$):

Обратная функция: если $f$ строго монотонна и непрерывна на отрезке, то $f^{-1}$ также строго монотонна и непрерывна на соответствующем отрезке значений.

Эквивалентные бесконечно малые (при $x\to0$)

$$ \sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ \arcsin x\sim x,\ \arctan x\sim x, $$ $$ e^x-1\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x,\ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} $$

Алгоритм раскрытия неопределённостей

Дополнительные методы

• Правило Лопиталя: при неопределённостях $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, если $\lim\frac{f'}{g'}$ существует, то $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$.
• Ряд Тейлора: для уточнения поведения в окрестности точки: $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),\quad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) $$
• Замена переменной: при $x\to a$ положить $t=x-a$ (или $t=1/x$ при $x\to\infty$).

Примеры вычисления пределов

Пример 1. $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac12$ (эквивалентность)

Пример 2. $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-5x} = \lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac2x+\frac1{x^2}}{1-\frac5x}=3$ (деление на $x^2$)

Пример 3. $\lim_{x\to0}(1+3x)^{1/x} = \left[\lim_{x\to0}(1+3x)^{1/(3x)}\right]^3 = e^3$

Пример 4. $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-x) = \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} = \frac12$

Типовые ошибки (пределы)

1. Применение эквивалентностей в суммах.
   Ошибка: $\sin x - x \sim x - x = 0$.
   Правильно: использовать разложение: $\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$.
2. Лопиталь без неопределённости.
   Ошибка: $\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}$ — здесь нет $\frac00$ или $\frac\infty\infty$.
3. Нарушение условий теорем.
   Ошибка: применять Больцано–Коши к разрывной функции.
4. Некорректное применение замечательных пределов.
   Ошибка: $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$ (верно: $0$, так как $|\sin x|\le1$).
5. Путаница между односторонними пределами и общим.
   Правило: общий предел существует $\iff$ $f(a-)=f(a+)$ (конечные).

Итоговые рекомендации для решения задач

1. Анализ: определить тип предела, проверить наличие неопределённости.
2. Выбор метода: подстановка, эквивалентности, замечательные пределы, Лопиталь, разложение, замена переменной.
3. Проверка: убедиться в выполнении условий теорем, при возможности проверить численно или графически.

5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Краткий справочник символов и обозначений

5.1. Понятия

• Производная функции в точке — характеризует скорость изменения функции; геометрически равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.
• Дифференциал — главная линейная часть приращения функции; показывает, насколько изменилась бы функция при постоянной скорости изменения, равной производной.
• Производные высших порядков — производные от производных (вторая, третья и т. д.).
• Выпуклость функции — форма графика: выпуклость вверх (выпуклая) или вниз (вогнутая).
• Точка перегиба — точка, где меняется направление выпуклости графика функции.
• Критическая точка — точка, в которой производная равна нулю или не существует.
• Гладкая функция — функция, имеющая непрерывную производную на заданном интервале.

5.2. Определения

• Производная в точке $x_0$: $$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. $$
• Дифференцируемая функция в точке $x_0$ — функция, приращение которой можно представить в виде: $$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + o(\Delta x), \quad \text{при } \Delta x \to 0, $$ где $A$ — константа, не зависящая от $\Delta x$. При этом $A = f'(x_0)$.
• Дифференциал (первого порядка): $$ df(x_0) = f'(x_0)\,dx, \quad \text{где } dx = \Delta x. $$
• Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). $$
• Нормаль к графику функции (при $f'(x_0) \neq 0$): $$ y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0). $$
• Локальный экстремум: точка $x_0$ называется точкой локального максимума (минимума), если существует окрестность, в которой для всех $x$ выполняется $f(x) \leq f(x_0)$ (или $f(x) \geq f(x_0)$).
• Стационарная точка: точка, в которой $f'(x) = 0$.

5.3. Теоремы (леммы)

Основные теоремы о среднем:

1. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то $f'(x_0) = 0$.
2. Теорема Ролля: если $f$ непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$ и $f(a) = f(b)$, то существует точка $c \in (a, b)$, такая что $f'(c) = 0$.
3. Теорема Лагранжа (о среднем значении): если $f$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$, такая что $$ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). $$
4. Теорема Коши (о среднем значении для двух функций): если $f$ и $g$ непрерывны на $[a, b]$, дифференцируемы на $(a, b)$ и $g'(x) \neq 0$ на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$, такая что $$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}. $$

5.4. Формулы

Правила дифференцирования

1. Арифметические операции (для дифференцируемых функций $u = u(x)$, $v = v(x)$):

• Производная суммы/разности: $$ (u \pm v)' = u' \pm v' $$
• Производная произведения (правило Лейбница для первой производной): $$ (uv)' = u'v + uv' $$
• Производная частного: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \quad v \neq 0 $$
• Вынесение константы за знак производной: $$ (Cu)' = Cu', \quad \text{где } C \text{ — константа} $$

2. Производная сложной функции (цепное правило)

Если $y = f(u)$, где $u = g(x)$, то производная $y$ по $x$ вычисляется по формуле: $$ y'_x = f'(u) \cdot u'_x \quad \text{или} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ Пояснение: сначала берётся производная внешней функции $f$ по её аргументу $u$, затем она умножается на производную внутренней функции $u = g(x)$ по $x$.

3. Производная обратной функции

Пусть $y = f(x)$ — дифференцируемая строго монотонная функция на интервале $(a, b)$, и $f'(x) \neq 0$. Тогда обратная функция $x = f^{-1}(y)$ также дифференцируема, и её производная вычисляется по формуле: $$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}, \quad \text{где } y = f(x) $$ Эквивалентная запись через дифференциалы: $$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $$

4. Формула Лейбница для $n$-й производной произведения

Обобщает правило дифференцирования произведения на случай $n$ производных: $$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}, $$ где:

• $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент;
• $u^{(k)}$ и $v^{(k)}$ — $k$-е производные функций $u$ и $v$ (при $k = 0$ это сами функции: $u^{(0)} = u$, $v^{(0)} = v$).

Частные случаи:

• Для $n = 1$: $(uv)' = u'v + uv'$ (стандартное правило произведения).
• Для $n = 2$: $(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$.

5. Логарифмическое дифференцирование

Применяется для функций вида $y = u(x)^{v(x)}$ или для упрощения дифференцирования сложных произведений/частных.

Алгоритм:

1. Прологарифмировать обе части: $\ln y = v \ln u$.
2. Продифференцировать обе части по $x$, считая $y$ функцией от $x$: $$ \frac{y'}{y} = (v \ln u)' $$
3. Выразить $y'$: $$ y' = y \cdot (v \ln u)' = u^v \cdot (v \ln u)' $$

6. Дифференцирование параметрически заданной функции

Если функция задана параметрически: $$ \begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \end{cases} $$ то её первая производная по $x$ находится по формуле: $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}, \quad \text{где } x'_t \neq 0 $$ Вторая производная: $$ y''_{xx} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \frac{\left( \dfrac{y'_t}{x'_t} \right)'_t}{x'_t} $$

7. Дифференцирование неявно заданной функции

Если функция $y(x)$ задана уравнением $F(x, y) = 0$, то для нахождения $y' = \dfrac{dy}{dx}$:

1. Дифференцируем обе части уравнения по $x$, считая $y$ функцией от $x$.
2. Собираем все слагаемые с $y'$ в одной части уравнения.
3. Выражаем $y'$.

Пример: для уравнения $x^2 + y^2 = 1$ получаем: $$ 2x + 2yy' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y} $$

8. Производная функции, заданной в полярных координатах

Если кривая задана уравнением $r = r(\varphi)$, то производная декартовой координаты $y$ по $x$ выражается через $\varphi$ следующим образом: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{r'_\varphi \sin \varphi + r \cos \varphi}{r'_\varphi \cos \varphi - r \sin \varphi} $$

Важные замечания:

• Перед применением правил всегда проверяйте существование производных всех участвующих функций.
• При работе с параметрическими и неявными функциями обращайте внимание на точки, где знаменатель может обратиться в ноль.
• Логарифмическое дифференцирование особенно полезно для функций, содержащих много множителей или степеней.

Производные элементарных функций (расширенная таблица):

$$ \begin{array}{ll} \text{1. Константа:} & (C)' = 0 \\[6pt] \text{2. Линейная функция:} & (x)' = 1 \\[6pt] \text{3. Степенная функция:} & (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1} \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \\[6pt] \text{4. Квадратный корень:} & (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x > 0) \\[6pt] \text{5. Корень n‑й степени:} & \left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \quad (x > 0) \\[6pt] \text{6. Обратная величина:} & \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} \quad (x \neq 0) \\[6pt] \text{7. Обратная степень:} & \left(\dfrac{1}{x^n}\right)' = -\dfrac{n}{x^{n+1}} \quad (x \neq 0) \\[6pt] \text{8. Показательная функция:} & (a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \\[6pt] \text{9. Экспонента:} & (e^x)' = e^x \\[6pt] \text{10. Сложная экспонента:} & (e^{kx})' = k e^{kx} \\[6pt] \text{11. Логарифм:} & (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1) \\[6pt] \text{12. Натуральный логарифм:} & (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \quad (x > 0) \\[6pt] \text{13. Модуль:} & (|x|)' = \dfrac{x}{|x|} \quad (x \neq 0) \\[6pt] \text{14. Натуральный логарифм модуля:} & (\ln |x|)' = \dfrac{1}{x} \quad (x \neq 0) \\[6pt] \text{15. Синус:} & (\sin x)' = \cos x \\[6pt] \text{16. Косинус:} & (\cos x)' = -\sin x \\[6pt] \text{17. Тангенс:} & (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \quad \left(x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\right) \\[6pt] \text{18. Котангенс:} & (\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \quad (x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}) \\[6pt] \text{19. Секанс:} & (\sec x)' = \tan x \cdot \sec x \quad \left(x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\right) \\[6pt] \text{20. Косеканс:} & (\csc x)' = -\cot x \cdot \csc x \quad (x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}) \\[6pt] \text{21. Арксинус:} & (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1) \\[6pt] \text{22. Арккосинус:} & (\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1) \\[6pt] \text{23. Арктангенс:} & (\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2} \\[6pt] \text{24. Арккотангенс:} & (\operatorname{arccot} x)' = -\dfrac{1}{1+x^2} \\[6pt] \text{25. Арксеканс:} & (\operatorname{arcsec} x)' = \dfrac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}} \quad (|x| > 1) \\[6pt] \text{26. Арккосеканс:} & (\operatorname{arccsc} x)' = -\dfrac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}} \quad (|x| > 1) \\[6pt] \text{27. Гиперболический синус:} & (\operatorname{sh} x)' = \operatorname{ch} x \\[6pt] \text{28. Гиперболический косинус:} & (\operatorname{ch} x)' = \operatorname{sh} x \\[6pt] \text{29. Гиперболический тангенс:} & (\operatorname{th} x)' = \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x} \\[6pt] \text{30. Гиперболический котангенс:} & (\operatorname{cth} x)' = -\dfrac{1}{\operatorname{sh}^2 x} \quad (x \neq 0) \\[6pt] \text{31. Ареасинус:} & (\operatorname{arsinh} x)' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \\[6pt] \text{22. Ареакосинус:} & (\operatorname{arcosh} x)' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1) \\[6pt] \text{33. Ареатангенс:} & (\operatorname{artanh} x)' = \dfrac{1}{1 - x^2} \quad (|x| < 1) \\[6pt] \text{34. Ареакотангенс:} & (\operatorname{arcth} x)' = \dfrac{1}{1 - x^2} \quad (|x| > 1) \\[6pt] \text{35. Функция } x^x\text{:} & (x^x)' = x^x (1 + \ln x) \quad (x > 0) \end{array} $$

Примечания:

• Для каждой функции указана область определения, где производная существует.
• $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ — секанс и косеканс.
• $\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ — гиперболические синус и косинус.
• Обратные гиперболические функции также называют «ареа‑функциями» (от лат. area — площадь).

Правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, $$ если $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ или $\infty$, и существует $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Формула Тейлора с остаточными членами: $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x), $$ где:

• остаток в форме Пеано: $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$, $x \to x_0$;
• остаток в форме Лагранжа: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, $\xi$ между $x$ и $x_0$;
• остаток в форме Коши: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0)$.

Разложения в ряд Маклорена ($x_0 = 0$): $$ \begin{aligned} &e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\ &\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \\ &\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \\ &\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n), \quad |x| < 1 \\ &(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \\ &\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n), \quad |x| < 1 \\ &\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2}) \\ &\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) \quad (\text{доп.}) \\ &\operatorname{sh} x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots, \quad \operatorname{ch} x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \end{aligned} $$

5.5. Алгоритмы решения типовых задач

1. Нахождение производной:

1. Определите тип функции (элементарная, сложная, произведение и т. д.).
2. Примените соответствующие правила дифференцирования.
3. Упростите полученное выражение.

2. Исследование функции на экстремум:

1. Найдите производную $f'(x)$.
2. Найдите критические точки: решите уравнение $f'(x) = 0$ и найдите точки, где производная не существует.
3. Исследуйте знак производной в окрестностях критических точек (метод интервалов).
4. Используйте достаточное условие экстремума (первое или второе).
5. Вычислите значения функции в точках экстремума.

3. Нахождение точек перегиба:

1. Найдите вторую производную $f''(x)$.
2. Решите уравнение $f''(x) = 0$ и найдите точки, где $f''(x)$ не существует.
3. Определите знак $f''(x)$ слева и справа от найденных точек.
4. Если знак меняется, точка является точкой перегиба.
5. Найдите значение функции в точке перегиба.

4. Применение правила Лопиталя:

1. Убедитесь, что предел имеет неопределённость вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ (или сводимые к ним $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$).
2. Проверьте существование предела отношения производных.
3. Найдите производные числителя и знаменателя.
4. Вычислите новый предел.
5. При необходимости повторите процесс.

5. Разложение функции в ряд Тейлора:

1. Выберите точку $x_0$ для разложения.
2. Вычислите производные функции до нужного порядка в точке $x_0$.
3. Подставьте значения производных в формулу Тейлора.
4. Оцените остаточный член.

5.6. Условия монотонности, экстремума и выпуклости

Монотонность:

• $f'(x) > 0$ на интервале $\Rightarrow f$ строго возрастает;
• $f'(x) < 0$ на интервале $\Rightarrow f$ строго убывает.

Экстремум:

• Необходимое условие: $f'(x_0) = 0$ или не существует (критические точки).
• Достаточное условие (первое): если при переходе через $x_0$ производная меняет знак:
  • $+ \to -$ $\Rightarrow$ максимум;
  • $- \to +$ $\Rightarrow$ минимум.
• Достаточное условие (второе): если $f'(x_0) = 0$, то:
  • $f''(x_0) < 0$ $\Rightarrow$ максимум;
  • $f''(x_0) > 0$ $\Rightarrow$ минимум;
  • $f''(x_0) = 0$ $\Rightarrow$ требуется дополнительное исследование (третья производная и т.д.).

Выпуклость:

• $f''(x) > 0$ на интервале $\Rightarrow$ функция выпукла вниз (вогнута);
• $f''(x) < 0$ на интервале $\Rightarrow$ функция выпукла вверх (выпукла).

Точка перегиба:

• Необходимое условие: $f''(x_0) = 0$ или не существует.
• Достаточное условие: если $f''(x)$ меняет знак при переходе через $x_0$, то $x_0$ — точка перегиба.

5.7. Типовые ошибки

1. При применении правила Лопиталя:

   • применение к пределам без неопределённости;
   • отсутствие проверки существования предела отношения производных;
   • многократное применение без проверки условий.

2. При исследовании функций:

   • пропуск критических точек, где производная не существует;
   • путаница между необходимым и достаточным условиями экстремума;
   • игнорирование границ области определения функции.

3. При разложении в ряд Тейлора:

   • неправильный выбор точки разложения;
   • ошибка в вычислении производных высших порядков;
   • некорректная оценка остаточного члена.

4. Общие ошибки:

   • арифметические ошибки при дифференцировании;
   • забывание цепного правила для сложных функций;
   • неправильное применение правил дифференцирования произведения/частного.

5.8. Важные дополнительные понятия и теоремы

Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности: если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке (обратное неверно).

Геометрический смысл производной: $f'(x_0) = \tan \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Физический смысл производной: производная пути по времени — мгновенная скорость, производная скорости по времени — ускорение.

Теорема Дарбу: производная функции (даже разрывная) обладает свойством Дарбу: если $f'(a) < k < f'(b)$, то существует $c \in (a, b)$, такая что $f'(c) = k$.

Обозначения производных высших порядков:

• вторая производная: $f''(x)$, $\frac{d^2y}{dx^2}$;
• $n$-я производная: $f^{(n)}(x)$, $\frac{d^ny}{dx^n}$.

Дифференциалы высших порядков: $$ d^2y = f''(x) dx^2, \quad d^n y = f^{(n)}(x) dx^n. $$

6. Интегральное исчисление функций одной переменной

Краткий справочник символов и обозначений

6.1. Неопределенный интеграл

Понятия:

• Первообразная — функция $F(x)$, производная которой равна заданной функции $f(x)$.
• Неопределенный интеграл — совокупность всех первообразных данной функции.
• Интегрирование — операция, обратная дифференцированию.

Определения:

• Первообразная: $F'(x) = f(x)$ на интервале $(a,b)$.
• Неопределенный интеграл: $$ \int f(x)\,dx = F(x) + C, $$ где $F(x)$ — первообразная, $C$ — произвольная постоянная.

Свойства (линейность):

• $\int \bigl( f(x) \pm g(x) \bigr) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
• $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
• $\left( \int f(x) dx \right)' = f(x)$
• $\int f'(x) dx = f(x) + C$

Методы интегрирования:

1. Замена переменной (подстановка): $$ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du, \quad u = g(x). $$
2. Интегрирование по частям: $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du. $$ Практика: Выбирать $u$ по правилу ЛИАТЭ (Логарифм, Обратная тригонометрия, Иррациональная (степенная), Тригонометрия, Экспонента).

Таблица основных интегралов (см. полную таблицу в п. 6.8)

6.2. Определенный интеграл

Понятия:

• Интегральная сумма Римана — сумма площадей прямоугольников, аппроксимирующих площадь под кривой.
• Определенный интеграл — предел интегральных сумм.
• Интегрируемая функция — функция, для которой этот предел существует.

Определение (Римана): Пусть $\lambda = \max \Delta x_i$ — мелкость разбиения. Тогда: $$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i. $$

Критерий интегрируемости (Дарбу): Функция интегрируема $\iff$ для любого $\varepsilon > 0$ существует разбиение, такое что разность между верхней и нижней суммами Дарбу $S - s < \varepsilon$.

Классы интегрируемых функций: Интегрируемы по Риману:

1. Непрерывные на отрезке.
2. Монотонные на отрезке.
3. Ограниченные и имеющие не более чем счетное множество точек разрыва.

Свойства:

• Линейность: $\int_a^b (f \pm g) = \int_a^b f \pm \int_a^b g$, $\int_a^b kf = k\int_a^b f$.
• Аддитивность: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
• Монотонность: если $f \le g$, то $\int_a^b f \le \int_a^b g$.
• Оценка модуля: $\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|$.
• Теорема о среднем: Если $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $\exists c \in [a,b]: \int_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)$.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа): Если $F'(x) = f(x)$ и $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). $$

Методы для определенного интеграла:

1. Замена переменной: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt$, где $a=\phi(\alpha), b=\phi(\beta)$. Важно: пределы интегрирования пересчитываются.
2. Интегрирование по частям: $\int_a^b u dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v du$.

Алгоритмы решения задач:

1. Проверить непрерывность на $[a,b]$. Если есть разрывы — перейти к несобственным интегралам.
2. Найти первообразную (методами п. 6.1).
3. Применить формулу Ньютона-Лейбница.
4. При замене переменной обязательно пересчитать пределы интегрирования.

Типовые ошибки:

• Забывают пересчитать пределы при замене переменной.
• Ошибки в знаках при интегрировании по частям.
• Не проверяют непрерывность подынтегральной функции.

6.3. Несобственные интегралы

Понятия:

• Несобственный интеграл — интеграл от функции на бесконечном промежутке (I род) или от неограниченной функции (II род).
• Сходимость — существование конечного предела.
• Абсолютная сходимость — сходимость интеграла от модуля функции. Абсолютная сходимость влечет условную.

Определения:

• I рода (бесконечный промежуток): $$ \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx. $$
• II рода (неограниченная функция): Пусть $f$ неограничена в точке $b$. $$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx. $$

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения: $0 \le f \le g$.
   • Если $\int g$ сходится, то $\int f$ сходится.
   • Если $\int f$ расходится, то $\int g$ расходится.
2. Предельный признак сравнения: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = K \in (0, \infty)$. Интегралы $\int f$ и $\int g$ ведут себя одинаково.
3. Признаки Дирихле и Абеля: Для интегралов вида $\int_a^\infty f(x) g(x) dx$:
   • Дирихле: $F(b) = \int_a^b f(x) dx$ ограничена, $g(x)$ монотонно стремится к 0 $\Rightarrow$ интеграл сходится.
   • Абеля: $\int_a^\infty f(x) dx$ сходится, $g(x)$ монотонна и ограничена $\Rightarrow$ интеграл сходится.

Эталонные интегралы:

• $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ сходится при $p>1$, расходится при $p \le 1$.
• $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ сходится при $p<1$, расходится при $p \ge 1$.

Алгоритм исследования сходимости:

1. Определить тип (I или II) и особые точки.
2. Выделить главный член функции в окрестности особой точки (или на бесконечности).
3. Сравнить с эталонным интегралом, используя предельный признак сравнения.
4. Если функция знакопеременная, проверить абсолютную сходимость. Если нет — применить признаки Дирихле/Абеля.

Типовые ошибки:

• Путаница между сходимостью и абсолютной сходимостью.
• Применение признака сравнения без проверки знакоопределенности.
• Неправильный выбор эталонного интеграла.

6.4. Кратные интегралы

Понятия:

• Двойной $\left(\iint_D f\, d\sigma\right)$ и тройной $\left(\iiint_V f\, dV\right)$ интегралы — обобщение определенного интеграла на функции 2 и 3 переменных.

Свойства: линейность, аддитивность, теорема о среднем.

Замена переменных (Якобиан): При переходе к новым координатам $(u,v)$ элемент площади/объема умножается на модуль якобиана $J$: $$ \iint_D f(x,y)\, dx dy = \iint_{D'} f\bigl(x(u,v), y(u,v)\bigr) |J|\, du dv, $$ где $$ J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}. $$

Основные системы координат:

1. Полярные: $x = r\cos\phi,\ y = r\sin\phi,\ |J| = r,\ dxdy = r\, dr d\phi$.
2. Цилиндрические: $x = r\cos\phi,\ y = r\sin\phi,\ z=z,\ |J| = r$.
3. Сферические: $x = \rho\sin\theta\cos\phi,\ y = \rho\sin\theta\sin\phi,\ z = \rho\cos\theta,\ |J| = \rho^2 \sin\theta$.

Алгоритм вычисления:

1. Построить область.
2. Выбрать удобную систему координат (симметрия области диктует выбор: круг — полярные, шар — сферические).
3. Вычислить якобиан.
4. Расставить пределы интегрирования (внешний интеграл — по "самой медленно меняющейся" координате).
5. Свести к повторному интегралу и вычислить последовательно.

6.5. Криволинейные интегралы

Понятия:

• I род (по длине дуги) $\int_L f\, ds$ — скалярное интегрирование, не зависит от направления обхода.
• II род (по координатам) $\int_L P\,dx + Q\,dy$ — векторное интегрирование, зависит от направления обхода.

Вычисление: Пусть кривая $L$ задана параметрически: $x = x(t), y = y(t), t\in[\alpha,\beta]$.

• I род: $ds = \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$. $$ \int_L f\, ds = \int_\alpha^\beta f\bigl(x(t), y(t)\bigr) \sqrt{x'^2 + y'^2}\, dt. $$
• II род: $$ \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta \Bigl( P\bigl(x(t),y(t)\bigr) x'(t) + Q\bigl(x(t),y(t)\bigr) y'(t) \Bigr) dt. $$

Формула Грина: Связь криволинейного II рода по замкнутому контуру $L$ с двойным интегралом по области $D$, ограниченной этим контуром. $$ \oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy. $$

• Применение: Вычисление площади: $\displaystyle S = \frac{1}{2} \oint_L (x\,dy - y\,dx)$.
• Условие независимости от пути: Если $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$, то интеграл $\int_{A}^{B} Pdx + Qdy$ не зависит от формы пути, а зависит только от начала и конца.

6.6. Численные методы интегрирования

Методы для определенного интеграла:

1. Метод прямоугольников:

   • Левые/правые: точность $O(h)$.
   • Средние: $\int_a^b f(x)dx \approx h \sum_{i=1}^n f\left(a + (i-0.5)h\right)$, точность $O(h^2)$.

2. Метод трапеций: $$ \int_a^b f(x)dx \approx h \left[ \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right], \quad \text{точность } O(h^2). $$

3. Метод Симпсона (парабол): $$ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + f(b) + 4\sum_{\text{нечет}} f(x_i) + 2\sum_{\text{чет}} f(x_i) \right], \quad \text{точность } O(h^4). $$ Требование: четное число разбиений $n$.

4. Метод Монте-Карло: $$ \int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \cdot \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i), $$ где $x_i$ — случайные числа. Погрешность $O(1/\sqrt{N})$, эффективен для многомерных интегралов.

Правило Рунге (оценка погрешности): Если $I_h$ и $I_{h/2}$ — приближения с шагом $h$ и $h/2$, то: $$ R \approx \frac{|I_{h/2} - I_h|}{2^p - 1}, $$ где $p$ — порядок точности метода ($p=2$ для трапеций, $p=4$ для Симпсона).

6.7. Применения интегралов

Геометрия:

• Площадь: $\displaystyle S = \int_a^b \bigl( f_{\text{верх}} - f_{\text{низ}} \bigr) dx$.
• Длина кривой: $\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$.
• Объем тела вращения (вокруг $Ox$): $\displaystyle V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
• Площадь поверхности вращения: $\displaystyle S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$.

Физика:

• Работа: $\displaystyle A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
• Масса стержня: $\displaystyle m = \int_a^b \rho(x) dx$.
• Координаты центра масс: $\displaystyle x_c = \frac{1}{m} \int_a^b x \rho(x) dx$.

6.8. Таблица основных интегралов одной переменной

1. Степенные: $$ \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\ (\alpha \neq -1),\qquad \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C. $$

2. Экспоненциальные: $$ \int e^x dx = e^x + C,\qquad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C. $$

3. Тригонометрические: $$ \int \sin x dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x dx = \sin x + C, $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C,\qquad \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C, $$ $$ \int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C,\qquad \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C. $$

4. Обратные тригонометрические: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C,\qquad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C. $$

5. Гиперболические: $$ \int \sinh x dx = \cosh x + C,\qquad \int \cosh x dx = \sinh x + C. $$

6. С корнями: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C, $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C, $$ $$ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\frac{x}{a} + C. $$

7. Рациональные дроби: $$ \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C,\qquad \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C. $$

8. Интегралы вида $\int e^{ax} \sin(bx) dx$ и $\int e^{ax} \cos(bx) dx$: $$ \int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx - b\cos bx) + C, $$ $$ \int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx + b\sin bx) + C. $$

6.9. Специальные функции и интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра:

• $I(t) = \int_a^b f(x,t) dx$.
• Дифференцирование под знаком интеграла (правило Лейбница): $$ I'(t) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t} dx + f(b,t) b'(t) - f(a,t) a'(t). $$
• Применение: Используется для вычисления "неберущихся" интегралов (например, $\int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \ln\frac{b}{a}$).

Интегралы Эйлера (специальные):

• Бета-функция: $\displaystyle B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$.
• Гамма-функция: $\displaystyle \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$. Свойства: $\Gamma(n+1)=n!$, $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$.
• Интеграл Пуассона: $\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Связь с теорией вычетов (для несобственных интегралов):

• Для вычисления интегралов вида $\int_{-\infty}^\infty R(x) dx$ или $\int_0^\infty f(x) \cos(ax) dx$ используется основная теорема о вычетах: $$ \int_{-\infty}^\infty R(x) dx = 2\pi i \sum \operatorname{Res}_{z: \operatorname{Im} z > 0} R(z), $$ где $R(x)$ — рациональная функция, убывающая быстрее $1/|x|$. $$ \int_0^\infty f(x) \cos(ax) dx = \operatorname{Re} \left( \pi i \sum \operatorname{Res} \right) \quad \text{(в зависимости от контура)}. $$

7. Ряды

Краткий справочник символов и обозначений

7.1. Числовые ряды

Основные понятия:

• Числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ — формальная сумма бесконечной последовательности чисел $\{a_n\}$.
• Частичная сумма ряда $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ — сумма первых $n$ членов ряда.
• Сходящийся ряд — ряд, для которого существует конечный предел последовательности частичных сумм: $\lim_{n \to \infty} S_n = S$. Этот предел называется суммой ряда.
• Расходящийся ряд — ряд, у которого предел частичных сумм не существует или бесконечен.
• Остаток ряда $R_n = S - S_n$ (для сходящегося ряда). Остаток стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} R_n = 0$.

Определения:

• Абсолютная сходимость: Ряд $\sum a_n$ сходится абсолютно, если сходится ряд $\sum |a_n|$. Абсолютно сходящийся ряд сходится и сохраняет свойство при перестановке членов.
• Условная сходимость: Ряд сходится, но не абсолютно (т.е. $\sum a_n$ сходится, а $\sum |a_n|$ расходится).
• Знакоположительный ряд: $a_n \ge 0$ для всех $n$.
• Знакочередующийся ряд: Ряд вида $\sum (-1)^{n-1} b_n$, где $b_n > 0$.

Теоремы и признаки сходимости:

1. Необходимый признак сходимости: Если ряд $\sum a_n$ сходится, то $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. (Обратное неверно: гармонический ряд $\sum 1/n$ расходится, хотя $1/n \to 0$).

2. Признаки сравнения:

   • Прямое сравнение: Если $0 \le a_n \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ сходится. Если $0 \le b_n \le a_n$ и $\sum b_n$ расходится, то $\sum a_n$ расходится.
   • Предельное сравнение: Если $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$, где $0 < c < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся или расходятся одновременно.

3. Признак Даламбера: Для ряда с положительными членами, если $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$, то:

   • при $L < 1$ ряд сходится;
   • при $L > 1$ ряд расходится;
   • при $L = 1$ признак не даёт ответа (требуется дополнительное исследование).

4. Радикальный признак Коши: Для ряда с неотрицательными членами, если $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$, то:

   • при $L < 1$ ряд сходится;
   • при $L > 1$ ряд расходится;
   • при $L = 1$ признак не даёт ответа.

5. Интегральный признак Коши: Пусть $f(x)$ — положительная, непрерывная, монотонно убывающая функция на $[1, \infty)$ и $a_n = f(n)$. Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и несобственный интеграл $\int_1^\infty f(x) dx$ сходятся или расходятся одновременно.

6. Признак Лейбница (для знакочередующихся рядов): Ряд $\sum (-1)^{n-1} b_n$ ($b_n > 0$) сходится, если:

   • $b_{n+1} \le b_n$ для всех $n$ (монотонное убывание);
   • $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.
   • Оценка остатка: $|R_n| \le b_{n+1}$.

7. Признаки Дирихле и Абеля (для знакопеременных рядов):

   • Дирихле: Если частичные суммы $\sum a_n$ ограничены, а последовательность $b_n$ монотонно стремится к нулю, то $\sum a_n b_n$ сходится.
   • Абель: Если $\sum a_n$ сходится, а $b_n$ монотонна и ограничена, то $\sum a_n b_n$ сходится.

8. Теорема Римана: Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно заставить его сходиться к любому наперед заданному числу или даже расходиться.

7.2. Функциональные ряды

Определения:

• Функциональный ряд: $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$, где $u_n(x)$ — функции, определённые на множестве $X$.
• Область сходимости: Множество всех $x \in X$, при которых числовой ряд $\sum u_n(x)$ сходится.
• Равномерная сходимость: Ряд сходится равномерно на $X$, если $\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon): \forall n > N, \forall x \in X \Rightarrow |R_n(x)| < \varepsilon$. Номер $N$ не зависит от $x$.

Признаки равномерной сходимости:

1. Признак Вейерштрасса (мажорантный): Если $|u_n(x)| \le a_n$ для всех $x \in X$ и числовой ряд $\sum a_n$ сходится, то $\sum u_n(x)$ сходится на $X$ абсолютно и равномерно. Ряд $\sum a_n$ называется мажорантой.

2. Признак Дирихле: Если частичные суммы ряда $\sum a_n(x)$ равномерно ограничены на $X$, а $b_n(x) \to 0$ равномерно на $X$ и $b_n(x)$ монотонна по $n$ для каждого $x$, то $\sum a_n(x) b_n(x)$ сходится равномерно.

3. Признак Абеля: Если $\sum a_n(x)$ сходится равномерно на $X$, а $b_n(x)$ равномерно ограничена и монотонна по $n$ для каждого $x$, то $\sum a_n(x) b_n(x)$ сходится равномерно.

Теоремы о свойствах равномерно сходящихся рядов:

• Непрерывность суммы: Если $u_n(x)$ непрерывны и ряд сходится равномерно, то его сумма $S(x)$ непрерывна.
• Почленное интегрирование: Если ряд сходится равномерно на $[a, b]$, то $\int_a^b \sum u_n(x) dx = \sum \int_a^b u_n(x) dx$.
• Почленное дифференцирование: Если $u_n(x)$ непрерывно дифференцируемы, ряд сходится в точке, а ряд из производных сходится равномерно, то $\left( \sum u_n(x) \right)' = \sum u'_n(x)$.

7.3. Степенные ряды

Определения:

• Степенной ряд с центром в точке $a$: $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$.
• Радиус сходимости $R$: Число $R \ge 0$, такое что ряд:
  • сходится абсолютно при $|x-a| < R$;
  • расходится при $|x-a| > R$.
• Интервал сходимости: $(a-R, a+R)$. На концах интервала сходимость исследуется отдельно.

Формулы для радиуса сходимости:

• Формула Коши–Адамара: $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$.
• Формула Даламбера (если предел существует): $\displaystyle R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$.

Свойства степенных рядов (теорема Абеля):

1. Если ряд сходится в точке $x_0$, то он сходится абсолютно при всех $|x-a| < |x_0-a|$.
2. Если ряд расходится в точке $x_1$, то он расходится при всех $|x-a| > |x_1-a|$.
3. Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз. Радиус сходимости при этом не меняется.

7.4. Ряды Тейлора и Маклорена

Определения:

• Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $a$: $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n. $$
• Ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора при $a=0$): $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n. $$

Достаточное условие разложимости: Если функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в окрестности точки $a$ и остаток $R_n(x)$ в форме Лагранжа стремится к нулю при $n \to \infty$, то $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора.

7.5. Ряды Фурье

Определения:

• Тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)$ с периодом $2\pi$: $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx). $$
• Коэффициенты Фурье: $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n=0,1,2,\dots), $$ $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n=1,2,3,\dots). $$

Ряд Фурье на произвольном периоде $[-l, l]$: $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right), $$ $$ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \, dx, \quad b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} \, dx. $$

Теорема Дирихле (условия сходимости): Если функция $f(x)$ кусочно-монотонна и ограничена на $[-\pi, \pi]$, то её ряд Фурье сходится:

• к $f(x)$ в точках непрерывности;
• к $\frac{f(x-0) + f(x+0)}{2}$ в точках разрыва первого рода;
• к $\frac{f(-\pi+0) + f(\pi-0)}{2}$ на концах отрезка при периодическом продолжении.

Свойства:

• Для чётной функции: $b_n = 0$, ряд состоит из косинусов.
• Для нечётной функции: $a_n = 0$, ряд состоит из синусов.
• Равенство Парсеваля: $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$.

7.6. Алгоритмы решения типовых задач

Алгоритм 1: Исследование числового ряда на сходимость

1. Проверить необходимый признак: $\lim a_n = 0$? Если нет $\to$ ряд расходится.
2. Определить тип ряда (знакоположительный, знакочередующийся).
3. Для знакоположительных: попробовать признаки в порядке:
   • Сравнение с эталонным рядом (геометрическая прогрессия, $p$-ряд).
   • Признак Даламбера (если есть факториалы или показательные функции).
   • Радикальный признак Коши (если есть $n$-е степени).
   • Интегральный признак (если есть подходящая функция).
4. Для знакочередующихся: проверить условия признака Лейбница.
5. Для знакопеременных: исследовать на абсолютную сходимость.

Алгоритм 2: Нахождение области сходимости степенного ряда

1. Найти радиус сходимости $R$ по формуле Даламбера или Коши.
2. Записать интервал сходимости $(a-R, a+R)$.
3. Исследовать сходимость на концах интервала, подставляя $x = a \pm R$ в исходный ряд и применяя признаки сходимости числовых рядов.
4. Записать область сходимости.

Алгоритм 3: Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена)

1. Использовать стандартные разложения (таблица 7.7).
2. Применить почленное интегрирование или дифференцирование известного разложения.
3. Выполнить замену переменной (например, $x \to -x$, $x \to x^2$).
4. Умножить или сложить известные ряды.

7.7. Справочные данные

7.7.1. Замечательные ряды

Экспоненциальные и логарифмические функции:

• $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots, \quad x \in \mathbb{R}$
• $e^{-x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots, \quad x \in (-1, 1]$
• $\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1$

Тригонометрические функции:

• $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots, \quad x \in [-1, 1]$

Гиперболические функции:

• $\sinh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in \mathbb{R}$

Биномиальные разложения:

• $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots, \quad |x| < 1$, где $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$
• Частные случаи:
  • $(1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, \quad |x| < 1$
  • $(1-x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1$
  • $(1+x)^{-2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n+1) x^n, \quad |x| < 1$

Геометрическая прогрессия и её производные:

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1$
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n, \quad |x| < 1$
• $\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^n, \quad |x| < 1$

7.7.2. Таблица эталонных рядов

7.7.3. Таблица радиусов сходимости для степенных рядов

7.7.4. Полезные формулы и соотношения

Суммы конечных рядов:

• $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ — арифметическая прогрессия
• $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$
• $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad q \ne 1$ — геометрическая прогрессия

Важные пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1, \quad a > 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \quad \forall a \in \mathbb{R}$
• $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Оценка остатка ряда:

• Для знакочередующегося ряда по признаку Лейбница: $|R_n| \le b_{n+1}$
• Для ряда с положительными членами, мажорируемого геометрической прогрессией: $R_n \le \frac{a_{n+1}}{1-q}$, где $q$ — знаменатель прогрессии

Специальные ряды и константы:

• Ряды с $\pi$:

  • $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (Базельская задача)
  • $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$
  • $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$ (ряд Лейбница)
  • $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$
  • $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}$
  • $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{\pi^3}{32}$

• Ряды с $e$:

  • $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e$
  • $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot n!} = \gamma$ (постоянная Эйлера–Маскерони, $\gamma \approx 0{,}57721$)

• Знакочередующиеся ряды:

  • $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$
  • $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^3} = \frac{3}{4} \zeta(3)$ (постоянная Апери, $\zeta(3) \approx 1{,}20206$)

7.7.5. Формулы преобразования рядов

Линейность: Если $\sum a_n = A$ и $\sum b_n = B$, то:

• $\sum (c \cdot a_n) = c \cdot A$
• $\sum (a_n + b_n) = A + B$

Сдвиг индекса: $\sum_{n=k}^\infty a_n = \sum_{m=0}^\infty a_{m+k}$

Группировка членов: Для сходящихся рядов можно группировать члены: $(a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \dots$

Произведение Коши (перемножение рядов): Если $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся абсолютно, то: $$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \sum_{n=0}^\infty c_n, $$ где $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.

7.7.6. Коэффициенты Фурье

Для периода $[-l, l]$: $$ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \, dx, \quad b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} \, dx $$

Равенство Парсеваля: $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) $$

7.8. Типичные ошибки и практические рекомендации

Частые ошибки при исследовании рядов:

1. Игнорирование необходимого признака: Не проверили $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
2. Неправильное применение признаков: Использование признака Даламбера для знакочередующихся рядов без предварительного исследования абсолютной сходимости.
3. Пропуск исследования концов интервала: Для степенных рядов не проверили сходимость при $x = a \pm R$.
4. Путаница между типами сходимости: Приняли условную сходимость за абсолютную.
5. Некорректное почленное интегрирование/дифференцирование: Не проверили равномерную сходимость функционального ряда.
6. Ошибки в вычислениях пределов: Ошибки при вычислении $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$ или $\lim \sqrt[n]{|a_n|}$.

Практические советы:

• Начинайте исследование ряда с проверки необходимого признака сходимости.
• Для знакоположительных рядов используйте признаки сравнения с эталонными рядами.
• Для рядов с факториалами или показательными функциями применяйте признак Даламбера.
• Для рядов с $n$-ми степенями используйте радикальный признак Коши.
• Знакочередующиеся ряды проверяйте по признаку Лейбница.
• При работе со степенными рядами сначала находите радиус сходимости, затем исследуйте концы интервала.
• Используйте таблицы стандартных разложений для упрощения вычислений.

Я доработал разделы 7, 8, 9 и 10, увеличив их нумерацию на 1 (так как предыдущий раздел «Ряды» стал 7-м). Теперь структура выглядит следующим образом:

• Раздел 7 → Раздел 8: Функции нескольких переменных
• Раздел 8 → Раздел 9: Функциональный анализ (Основы)
• Раздел 9 → Раздел 10: Вариационное исчисление
• Раздел 10 → Раздел 11: Приложения (Полезные формулы и тождества)

Каждый раздел приведён к единой структуре: краткий справочник символов (в начале раздела), понятия, определения, теоремы, алгоритмы решения, типовые ошибки и справочные данные. Добавлены пояснения, важные формулы и структурированные таблицы.

8. Функции нескольких переменных

Краткий справочник символов

8.1. Основные понятия

Определения:

• Функция нескольких переменных — закон, который каждой точке $M(x_1, \dots, x_n)$ из области $D \subset \mathbb{R}^n$ ставит в соответствие единственное число $u = f(M)$.
• Частная производная — производная функции по одной переменной при фиксированных остальных. Показывает скорость изменения функции вдоль координатной оси. $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} $$
• Дифференцируемая функция — функция, полное приращение которой можно представить в виде: $$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}), $$ где $A = f_x(x_0, y_0)$, $B = f_y(x_0, y_0)$.
• Полный дифференциал — главная линейная часть полного приращения: $$ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $$
• Градиент — вектор, составленный из частных производных. Указывает направление наискорейшего роста функции: $$ \operatorname{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $$
• Касательная плоскость к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$: $$ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $$
• Нормаль к поверхности — прямая, перпендикулярная касательной плоскости: $$ \frac{x - x_0}{f_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1} $$
• Производная по направлению — скорость изменения функции в направлении вектора $\vec{l}$: $$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta = \nabla f \cdot \vec{l}^0 $$

8.2. Теоремы

8.3. Экстремумы функций нескольких переменных

Необходимое условие безусловного экстремума: Если $(x_0, y_0)$ — точка локального экстремума дифференцируемой функции $f$, то все частные производные равны нулю: $$ \nabla f(x_0, y_0) = \mathbf{0} $$ Такая точка называется стационарной.

Достаточное условие (для $f(x, y)$): Пусть $(x_0, y_0)$ — стационарная точка. Обозначим: $$ A = f_{xx}, \quad B = f_{xy}, \quad C = f_{yy}, \quad \Delta = AC - B^2 $$ Тогда:

Метод множителей Лагранжа (условный экстремум): Для нахождения экстремума функции $f(x, y)$ при условии связи $\phi(x, y) = 0$ составляется функция Лагранжа: $$ L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \phi(x, y) $$ Необходимые условия экстремума: $$ \frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \ (\text{т.е. } \phi(x, y) = 0) $$

8.4. Дифференциальные операции и теоремы о полях

Основные операторы векторного анализа:

Интегральные теоремы:

Свойства операторов:

• $\operatorname{rot} \operatorname{grad} f = 0$ (градиент — безвихревое поле)
• $\operatorname{div} \operatorname{rot} \vec{F} = 0$ (ротор — соленоидальное поле)
• $\operatorname{div} \operatorname{grad} f = \Delta f$

8.5. Алгоритмы решения типовых задач

Алгоритм 1: Нахождение экстремумов ФНП

1. Найти частные производные первого порядка и приравнять их к нулю.
2. Решить систему уравнений для нахождения стационарных точек.
3. Вычислить частные производные второго порядка в каждой стационарной точке.
4. Вычислить $\Delta = AC - B^2$ и определить тип точки по достаточному условию.
5. Вычислить значение функции в точке экстремума.

Алгоритм 2: Метод множителей Лагранжа

1. Составить функцию Лагранжа $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \phi(x, y)$.
2. Найти частные производные $L_x$, $L_y$, $L_\lambda$ и приравнять их к нулю.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Для найденных точек исследовать характер экстремума (например, с помощью знака второго дифференциала или сравнения значений).

Алгоритм 3: Вычисление градиента и производной по направлению

1. Найти частные производные функции.
2. Подставить координаты точки для получения градиента.
3. Найти единичный вектор направления $\vec{l}^0 = \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|}$.
4. Вычислить производную по направлению: $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \nabla f \cdot \vec{l}^0$.

8.6. Типичные ошибки

1. Путаница между частной производной и полной: При вычислении частной производной по $x$ считаем $y$ константой, но если $y$ зависит от $x$, то нужно использовать полную производную.
2. Неправильное применение достаточного условия экстремума: Для случая $\Delta = 0$ нельзя делать вывод об отсутствии экстремума — требуется дополнительное исследование.
3. Ошибки в методе Лагранжа: Забывают добавить уравнение связи $\phi(x, y) = 0$ в систему или неправильно составляют функцию Лагранжа (знак перед $\lambda$).
4. Игнорирование области определения: Не проверяют, принадлежат ли найденные точки области определения функции.
5. Неправильное вычисление смешанных производных: Порядок дифференцирования важен только при отсутствии непрерывности.

9. Функциональный анализ (Основы)

Краткий справочник символов

9.1. Основные понятия

Определения:

• Метрическое пространство — пара $(X, \rho)$, где $X$ — множество, а $\rho: X \times X \to \mathbb{R}$ — метрика (расстояние), удовлетворяющая:

  1. $\rho(x, y) \ge 0$, $\rho(x, y) = 0 \iff x = y$
  2. $\rho(x, y) = \rho(y, x)$
  3. $\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z)$ (неравенство треугольника)

• Нормированное пространство — линейное (векторное) пространство $X$ с нормой $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, удовлетворяющей:

  1. $\|x\| \ge 0$, $\|x\| = 0 \iff x = 0$
  2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$ (однородность)
  3. $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ (неравенство треугольника)

  Метрика порождается нормой: $\rho(x, y) = \|x - y\|$.

• Банахово пространство — полное нормированное пространство (любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства).

• Скалярное произведение — функция $\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая:

  1. $\langle x, x \rangle \ge 0$, $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$
  2. $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ (симметрия)
  3. $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$
  4. $\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$

  Норма порождается скалярным произведением: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.

• Гильбертово пространство — полное нормированное пространство, норма в котором порождается скалярным произведением.

• Сжимающее отображение — отображение $A: X \to X$, для которого существует $q \in [0, 1)$, такое что: $$ \rho(Ax, Ay) \le q \cdot \rho(x, y) \quad \forall x, y \in X $$

9.2. Основные теоремы и принципы

Неравенство Коши–Буняковского: Для любых $x, y$ в пространстве со скалярным произведением: $$ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| $$

Теорема Рисса–Фишера: Пространство $L^2$ (функций, интегрируемых с квадратом) является полным, т.е. гильбертовым.

Теорема Рисса о представлении линейного функционала: В гильбертовом пространстве $H$ любой линейный непрерывный функционал $f$ может быть единственным образом представлен в виде: $$ f(x) = \langle x, y \rangle \quad \text{для некоторого } y \in H $$

Принцип сжимающих отображений (теорема Банаха о неподвижной точке): Если $A$ — сжимающее отображение на полном метрическом пространстве $X$, то:

1. Существует единственная неподвижная точка $x^* \in X$, такая что $Ax^* = x^*$.
2. Для любого начального приближения $x_0 \in X$ итерационный процесс $x_{n+1} = Ax_n$ сходится к $x^*$.
3. Скорость сходимости: $\rho(x_n, x^*) \le \frac{q^n}{1-q} \rho(x_1, x_0)$.

Теорема Хана–Банаха: Любой линейный непрерывный функционал, определённый на подпространстве нормированного пространства, может быть продолжен на всё пространство с сохранением нормы.

Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза): Если для каждого $x \in X$ последовательность $\{A_n x\}$ ограничена, то последовательность норм $\{\|A_n\|\}$ ограничена.

9.3. Примеры пространств

9.4. Типичные ошибки

1. Путаница между типами сходимости: Сильная (по норме) и слабая сходимость — разные понятия; из сильной следует слабая, но не наоборот.
2. Неправильное применение принципа сжимающих отображений: Не проверено, что пространство полное, или что отображение действительно сжимающее (коэффициент $q < 1$).
3. Неверное использование теоремы Рисса: Теорема справедлива только для гильбертовых пространств, но не для произвольных банаховых.
4. Ошибки в определении сопряжённого пространства: Сопряжённое пространство $X^*$ состоит из непрерывных линейных функционалов.
5. Игнорирование условия непрерывности: Линейный оператор может быть разрывным, если пространство бесконечномерно.

10. Вариационное исчисление

Краткий справочник символов

10.1. Основные понятия

Определения:

• Функционал — отображение, которое каждой функции $y(x)$ из некоторого функционального пространства ставит в соответствие число. Простейший функционал: $$ J[y] = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, dx $$

• Вариация функционала — аналог дифференциала. Первая вариация — главная линейная часть приращения функционала: $$ \delta J[y, h] = \int_a^b \left( \frac{\partial F}{\partial y} h + \frac{\partial F}{\partial y'} h' \right) dx $$ где $h(x)$ — вариация функции, $h(a) = h(b) = 0$ для задачи с закреплёнными концами.

• Экстремаль — функция $y(x)$, на которой функционал достигает экстремума (стационарна).

Необходимое условие экстремума функционала (аналог теоремы Ферма): Если $J[y]$ достигает экстремума на $y_0(x)$, то $\delta J[y_0, h] = 0$ для всех допустимых $h$.

10.2. Уравнение Эйлера–Лагранжа

Из условия $\delta J = 0$ выводится основное дифференциальное уравнение вариационного исчисления: $$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0 $$

Первые интегралы (частные случаи):

10.3. Достаточные условия экстремума

Условия Лежандра:

• Слабое (необходимое): Для минимума необходимо $\frac{\partial^2 F}{\partial (y')^2} \ge 0$, для максимума $\le 0$.
• Усиленное (достаточное): Если $\frac{\partial^2 F}{\partial (y')^2} > 0$ (или $< 0$) и выполняется условие Якоби (отсутствие сопряжённых точек), то экстремаль доставляет слабый локальный минимум (максимум).

Условие Якоби: Уравнение Якоби (вариация уравнения Эйлера–Лагранжа) не имеет нетривиальных решений, обращающихся в нуль на интервале $(a, b)$.

10.4. Изопериметрическая задача и метод Лагранжа

Постановка: Найти экстремум функционала $J[y] = \int_a^b F(x, y, y') dx$ при наличии интегральной связи: $$ K[y] = \int_a^b G(x, y, y') dx = l \quad (\text{const}) $$

Метод множителей Лагранжа: Составляется вспомогательный функционал: $$ L[y] = J[y] + \lambda K[y] = \int_a^b (F + \lambda G) \, dx $$ Экстремали ищутся как решения уравнения Эйлера–Лагранжа для $L[y]$: $$ \frac{\partial (F + \lambda G)}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial (F + \lambda G)}{\partial y'} \right) = 0 $$

10.5. Вариационные методы приближённого решения

Метод Ритца:

1. Выбирается система базисных функций $\{\varphi_i(x)\}$, удовлетворяющих краевым условиям.
2. Приближённое решение ищется в виде $y_n(x) = \sum_{i=1}^n a_i \varphi_i(x)$.
3. Функционал $J[y_n]$ становится функцией коэффициентов $J(a_1, \dots, a_n)$.
4. Коэффициенты находятся из условий экстремума: $\frac{\partial J}{\partial a_i} = 0$.

Метод Галеркина: Для уравнения $L[y] = f$ приближённое решение ищется в виде $y_n = \sum a_i \varphi_i(x)$, а невязка $R_n = L[y_n] - f$ ортогонализируется к базисным функциям: $$ \int_a^b R_n(x) \varphi_i(x) \, dx = 0, \quad i = 1, \dots, n $$

10.6. Типичные ошибки

1. Неправильное составление уравнения Эйлера–Лагранжа: Ошибки при вычислении $\frac{\partial F}{\partial y}$ и $\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)$.
2. Игнорирование граничных условий: Для задачи с закреплёнными концами необходимо $h(a) = h(b) = 0$, иначе вариация может включать дополнительные члены.
3. Некорректное применение первых интегралов: Первые интегралы справедливы только при указанных условиях (независимость $F$ от $y$ или $x$).
4. Ошибки в изопериметрической задаче: Неправильное введение множителя Лагранжа или пропуск интегрального условия.
5. Путаница между сильным и слабым экстремумом: Слабый экстремум рассматривает только близкие по значению функции и их производные, сильный — только по значению.

10.7. Справочные данные

Принцип наименьшего действия (Гамильтона): Истинная траектория механической системы такова, что действие $S = \int_{t_1}^{t_2} (T - U) dt$ является стационарным (обычно минимальным), где $T$ — кинетическая энергия, $U$ — потенциальная энергия.

Классические вариационные задачи: